Sind die folgenden Mengen Untervektorräume des Vektorraums Q4?

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden Mengen U1, ..., U2 Untervektorräume des Vektorraums Q4 ?

Falls nein, begründen sie ihre Antwort, andernfalls geben sie ein Erzeugendensystem an.

(a) U₁ = {(1, 1, a, b)^T: a, b ∈ Q},

(b) U2 = Q × Q × Q × {1}.

Problem/Ansatz:

Anwendung der drei Bedingungen für Untervektorräume

1) 0 Vektor ∈ der Menge
2) u + v ∈ U
3) a * u ∈ U

Comments

Enthält denn \(U_1\) den Nullvektor?

Und wie sieht das bei \(U_2\) aus?

Das dürfte ja wohl mit "einem Blick" zu prüfen sein ....

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ich meine bei U1 steht dass a,b ∈ Q, dann sollte die Null mit enthalten oder nicht?. wie prüfen man überhaupt ob eine Gruppe den Nullvektor enthält?

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Der Nullvektor in \(\mathbb{Q}^4\) ist \((0,0,0,0)\).

Liegt dieser Vektor in \(U_1\) ?

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nein der Nullvektor liegt in Q4 nicht

Answer 1

Schon die erste Bedingung ist bei beiden nicht erfüllt.

Comments

wie drauf gekommen?

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Der 0-Vektor sieht so aus:

(0,0,0,0)^T und die in U1 haben in den ersten beiden

Komponenten je eine 1.  Das passt nicht, also

0-Vektor nicht in U1.

Bei U2 ähnlich. 4. Komponente 1 geht nicht mit dem 0-Vektor.