Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des \mathbb{R} -Vektorraums \mathbb{R}^{n}, n \geq 2 ?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( \mathbb{R}^{n}, n \geq 2 \) ?
a) \( U_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1}=0\right\} \)
b) \( U_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid\right. \) es gibt ein \( i \in\{1, \ldots, n\} \) mit \( \left.x_{i}=0\right\} \),
c) \( U_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum \limits_{i=2}^{n} x_{i}=x_{1}\right\} \),
d) \( U_{4}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0\right\} \).
Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Hi, also bei der Aufgabe bin ich soweit dass ich a) gelöst habe, man muss ja folgende Definition einfach anwenden:

Definition 3.7 Sei \( V \) ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge \( U \subset V \) heißt ein \( K \)-Untervektorraum, wenn gilt:
i) \( \overrightarrow{0} \in U \)
ii) \( a, b \in U \Rightarrow a+b \in U \)
iii) \( \alpha \in K, a \in U \Rightarrow \alpha \cdot a \in U \)

So bei a) ist i) 0 der Nullvektor und der Rest ergibt sich ja. aber wie ich bei b) c) und d) vorgehen soll weiß ich nicht. Kann wer vlt auch zeigen wie man das formal richtig aufschriebt zum abgeben? Hab dadurch immer viele Punkte verloren...

Answer 1

Zunächst eine grundsätzliche Bemerkung:

Die Lösungsmenge eines lhomogenen linearen

Gleichungssystems ist ein Untervektorraum.

a) \(x_1=0\) ist ein homogenes LGS, also
Untervektorraum.

b) \(v_1=(1,0,1,\cdots, 1),v_2=(0,1,1,\cdots,1)\in U_2\), aber
\(v_1+v_2\notin U_2\), also kein Untervekorraum.

c) \(\sum_{i=2}^nx_i -x_1=0\) ist ein homogenes LGS, also
Untervektorraum.

d) \(x_1^2+x_2^2=0\iff x_1=0\wedge x_2=0\).
Das ist ein homogenes LGS, also Untervektorraum.

Comments

Hi ermanus, deine Antwort ist vollkommen richtig nur leider darf ich momentan noch nicht die Definition verwenden mit den homogenen LGS, daher muss ich jede Bedingung für ein Untervektorraum nochmal einzeln prüfen...Ich habe für die Teilaufgabe a) formal was hingeschrieben und bin mir nicht sicher ob man ein Index für x bestimmen kann im Vektor, denn es gilt ja reelle Zahlen hoch n, deswegen kann ja der Vektor ins unendliche gehen wenn du verstehst was ich meine. Kann man so argumentieren wie ich das jetzt hier gemacht hab?

Text erkannt:

a) \( U_{n}=\left\{\left.x \in \mathbb{R}^{n}\right|_{x_{1}=0}\right\} \)
\( x \) hat n-tilen, also gill: \( \forall i \in\{2, \ldots, n\}: x_{i} \in \mathbb{R} \)
(i) Wähle \( \forall i \in\{1, \ldots, n\}: x_{i}=0 \Rightarrow x=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{0} \in U_{4} \)
\( \left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)=\overrightarrow{0} \)
(ii) Sei \( x_{1}=0 \) and \( \forall_{i} \in\left\{\alpha_{1}, \ldots, n\right\}: x_{i} \in \mathbb{R} \) geliebig.
Sei \( y_{1}=0 \) and \( \forall i \in\{2, \ldots, n\}: y_{i} \in \mathbb{R} \) belietig.
\( \begin{aligned} & a=\left(0, x_{2}, \ldots, x_{i}\right), b=\left(0, y_{2}, \ldots, y_{i}\right) \in U_{1} \\ & a+b=\left(0+0, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{i}+y_{i}\right) \\ \Rightarrow & y_{1}=x_{1}=0 V \\ & \left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 9 \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ x_{2}+y_{2} \\ \vdots \\ x_{i}+y_{i} \end{array}\right) \end{aligned} \)
(iii) Sei \( x_{1}=0 \) and \( \forall_{i} \in\{2, \ldots, n\}: x_{i} \in \mathbb{R} \) Geliebig waihteen .
Sii \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( a=\left(0, x_{2}, \ldots, x_{i}\right) \in U_{1} \)
\( \begin{array}{l} \alpha \cdot a=\alpha \cdot\left(0, x_{2}, \ldots, x_{i}\right)=\left(0, \alpha x_{2}, \ldots, \alpha x_{i}\right) \\ \Rightarrow x_{1}=0 \\ \alpha \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \alpha x_{2} \\ \vdots \\ \alpha x_{i} \end{array}\right) \end{array} \)

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Ja. So kannst du das machen :-)

Answer 2

Hallo

a, b ist fast dasselbe mit i statt 1. also auch das zeigen. aufschreiben  eben mit  0 in U , r*x in U und x+y in U, jeweils explizit aufschreiben,

bei b ist mir nicht klar ob zu jedem x in R^n ein anderes xi=0 sein kann, dann ist es kein UVR

auch c) läuft so,

bei d)  wenn da wirklich x1^2+x2^2=0 steht ist es einfach x1=x2=0   also ein UVR

mit x1^2-x2^2=0 ist es kein UVR

Gruß lul