Steckbriefaufgabe: Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades gesucht, achsensymmetrisch, mit T (0|1)

Question

Hallo, folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Ich soll eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades suchen. Achsensymmetrie ist vorhanden.

Folgende Eigenschaften kann ich dem Graphen entnehmen:

Tiefpunkt bei (0|1), Punkt in (1|3), Punkt in (-1|3), y-Achsenabschnitt = 1

Es ergibt sich also:

f(0)=1

f'(0)=0

f(1)=3

f(-1)=3

Das Problem ist:

Ich komme nicht auf das Ergebnis, auch wenn ich 4 "Eigenschaften" dem Graphen entnehmen kann und nur 3 gesuchte Variablen (?) habe, nämlich:

f(x) = ax⁴ + bx² + c     

Mehr Eigenschaften kann ich dem Graphen nicht entnehmen.

In der vorgegebenen Lösung von meiner Lehrerin steht:

f(x) = 2x⁴+1

Kann mir jemand helfen, den Lösungsweg zu verstehen und diesen eventuell posten?

Oder ist die Lösung meiner Lehrerin eventuell falsch?

Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen,

vielen Dank schon mal!

Answer 1

Evtl. fehlt die Bedingung für den Flachpunkt f''(0) = 0

So sehen meine Bedingungen aus

f'(0) = 0
f'''(0) = 0 → Achsensymmetrie zur y-Achse

f(0) = 1
f''(0) = 0 → Flachpunkt bei (0 | 1)
f(1) = 3 → Funktion geht durch (1 | 3)

Comments

Du hast vollkommen Recht, der Flachpunkt hat gefehlt.

Vielen Dank!

Answer 2

Tiefpunkt bei T\((0|1)\), Punkt in \(P(1|3)\), Punkt in Q\((-1|3)\), Symmetrie zur y-Achse

um 3↓: T´\((0|-2)\), \(P´(1|0)\)  Q´\((-1|0)\)
\(f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)\)
\(f(x)=a[(x^2-1)(x^2-N^2)]\)
T´\((0|-2)\):

\(f(x)=a[(0-1)(0-N^2)]=aN^2=-2]\)  →    \(a=-\frac{2}{N^2}\)

\(f(x)=-\frac{2}{N^2}[(x^2-1)(x^2-N^2)]\)

\(f'(x)=-\frac{2}{N^2}[2x(x^2-N^2)+(x^2-1)\cdot2x]\)

\(f'(x)=-\frac{2}{N^2}[2x(x^2-N^2+x^2-1)]\)

\(f'(x)=-\frac{2}{N^2}[2x(2x^2-N^2-1)]\)

\(f'(0)=-\frac{2}{N^2}[ 0(-N^2-1)]\)
\(-\frac{2}{N^2}[ 0(-N^2-1)]=0\)

\(N^2=-1\)  

\(a=2\)

\(f(x)=2(x^2-1)(x^2+1)=2(x^4-1)\)

um 3↑: \(p(x)=2(x^4-1)+3=2x^4+1\)