Question

Zeige mithilfe der kleinen Lösungsformel:

sind x₁ und x₂ die Lösung der Gleichung x² + px + q = 0

dann gilt:

a) x₁ + x₂ = -p

b) x₁ *x₂ = q

Answer 1

Für x₁₂ gilt nach der Lösungsformel:

x₁₂ = -p/2 ± √((-p/2)^2 - q)

x₁ = -p/2 + √((-p/2)^2 - q)

x₂= -p/2 - √((-p/2)^2 - q)

a)

x₁+x₂ = -p/2 + √((-p/2)^2 - q) + -p/2 - √((-p/2)^2 - q)

Die Wurzel fällt weg, da sie einmal mit positiven Vorzeichen und einmal mit negativen Vorzeichen vorkommt.

x₁+x₂ = 2*(-p/2) = -p

 

b)

x₁*x₂ = (-p/2 + √((-p/2)^2 - q) * (-p/2 - √((-p/2)^2 - q))  

nach 3. Binomischer Formel gilt:

x₁*x₂ = (-p/2)^2 - (√((-p/2)^2 - q))^2

x₁*x₂ = (-p/2)^2 - (-p/2)^2 +q

x₁*x₂ = q