Hallo,
der Nachweis, dass nur diese Funktion (siehe die andere Antwort) die Aufgabe löst, könnte so gehen:
1. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0), also f(0)=0
2. f(u+u)=2f(u),, f(3u)=f(2u)+f(u)=3f(u). Induktiv also f(nu)=nf(u) für natürliche n. Damit auch f(n)=nf(1).
3. 0=f(0)=f(u+(-u))=f(u)+f(-u). Also f(-u)=-f(u). Damit f(n)=nf(1) für alle ganzen n.
4. nf(1/n)=f(n/n)=1. Also f(1/n)=1/n. Und damit f(q)=qf(1) für alle rationalen q.
5. Für reelles x wähle rationale Folge \((x_n), \;x_n \to x\). Dann ist
$$f(x_n-x)=f(x_n)-f(x)=x_nf(1)-f(x) \to xf(1)-f(x) \text{ und } f(x_n-x) \to 0$$
Am Ende wird die Stetigkeit im Nullpunkt gebraucht.
Gruß Mathhilf