Konvergenz von q^n, wenn q komplexe Zahl

Question

Aufgabe und Ansatz:

Ich soll klären, für welche komplexen Zahlen q die Folge (an) = q^n konvergiert und für welche sie divergiert.

Ich bin zu dem Ergebnis gekommen:

- für (Betrag von q) < 1 konvergiert sie gegen o

- für q=1 konvergiert sie gegen 1

- für q=-1 divergiert sie

für (Betrag von q) > 1 divergiert sie.

Ich bin mir allerdings unschlüssig, ob ich in den komplexen Zahlen überhaupt q=1 und q=-1 betrachten darf, oder ob ich mich auf (Betrag von q) = 1 beschränken muss - dann läge hier Divergenz vor.

Kann jemand aufklären?

Danke

Answer 1

Hallo,

wie die Aufgabe formuliert ist, sollst Du alle komplexen Zahlen q betrachten. Für |q|<1 und |q|>1 hast Du das Ergebnis angegeben (ob Ihr da noch beweisen müsst oder ob das als "klar" gilt, weiß ich nicht.).

Für q=1 liegt offenbar Konvergenz vor. Für alle anderen komplexen q mit |q|=1 (einschließlich q=-1) liegt Divergenz vor; denn diese Folgen verstoßen gegen das Cauchy-Kriterium:

$$|q^{n+1}-q^n|=|(q^n(q-1)|=|q|^n|q-1|=|q-1|$$

Das konvergiert nicht gegen 0.

Gruß Mathhilf

Comments

Das hieße jetzt, dass Iq-1I nicht <= Epsilon ist. Warum ist das nicht so?

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epsilon in der Definition vom Cauchy-Kriterium kann beliebig klein werden. Zum Beispiel könnte man verlangen \(\epsilon=0.5|q-1|\)