Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung zum Anfangswert. H: Hormonspiegel. H'(t) = B(t)*H(t)

Question

Aufgabe:

Bei der Behandlung einer Stoffwechselstörung wird die zeitliche Veränderung eines Hormonspiegels durch die Differentialgleichung

\( \dot{H}(t)=\beta(t) H(t) \)

beschrieben, wobei \( t \rightarrow H(t) \) den Stand des Hormonspiegels zur Zeit \( t \geq 0 \) bezeichnet und in die Funktion \( t \mapsto \beta(t) \) die Stärke der Medikation \( \gamma \) sowie der Wechsel der Lichtintensitä im Tagesverlauf eingeht.

(i) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung zum Anfangswert \( H(0)=H_{0} \) unter der Annahme \( \beta(t)=\gamma^{2}-3+\cos (2 \pi t) \) für \( t \geq 0 \) (Zeit \( t \) in Tagen ).

(ii) Was ist der Hormonstand nach einem Tag, wenn der Anfangsbestand \( H_{0}=1 \) war, und wenn keine Medikation erfolgte (also \( \gamma=0 \) )?

(iii) Wie muss \gamma eingestellt werden, damit der Hormonspiegel \( H(t) \) weder gegen Null absinkt noch unbeschränkt wächst?

Answer 1

(i)

Der Einfachheit halber verwende ich H '(t) für H(t) (Punkt über dem H)

H ' (t) = α(t)*H(t)

H ' (t) = [γ² -3 + cos(2π*t)] *H(t)

dH/dt = [γ² -3 + cos(2π*t)] *H(t)

Trennen der Variablen:

dH/H(t) = [γ² -3 + cos(2π*t)] dt

Integrieren:

ln H(t) = (γ² -3)*t + 1/(2π)*sin (2π*t) + c

H(t) = c₁ * e^{(γ^2 -3)*t +sin (2π*t)/(2π)}

Anfangswert einsetzen:

H(0) = H₀ = c₁ * e^{(γ^2 -3)*0 +sin (2π*0)/(2π)} = c₁* 1

c₁ = H₀

Spezielle Lösung:

H(t) = H₀ * e^{(γ^2 -3)*t +sin (2π*t)/(2π)}

(ii)

H(1) = 1 * e^{(0^2 -3)*1 +sin (2π*1)/(2π)}

H (1) = 0,0498

 

(iii)

Damit H(t) nicht gegen 0 oder gegen unendlich geht, darf im Exponenten der e-Funktion nur etwas periodisches stehen, d.h. (γ² -3) muss verschwinden.

Also:

(γ² -3) = 0

γ² = 3

γ = ± √3

Eine negative Medikation ist nicht sinnvoll, also bleibt γ = √3. Für diesen Wert sinkt der Hormonspiegel nicht gegen 0 und steigt auch nicht über alle Grenzen.

Answer 2

Schau mal was ich aufgeschrieben habe: