Differentialgleichung 1. Ordnung lösen. x' = 1/5 x - 1/5175 x^2 . Population nach 12 Tagen? ...

Question

Ich habe furchtbare Probleme mit dieser Aufgabe. Ich habe keine Sätze, keine Erklärungen, keine Definitionen,.. einfach nichts was mir helfen könnte die Aufgabe zu lösen.

Wäre super, wenn mir hier jemand helfen/erklären könnte wie und was ich machen muss, um das zu lösen.

Comments

Ich habe keine Sätze, keine Erklärungen, keine Definitionen,.. einfach nichts was mir helfen könnte

Dann brauchst Du die Aufgabe auch nicht zu bearbeiten. Die muss dann ein Irrtum sein. Uebungsaufgaben beziehen sich immer auf das, was gerade in der Vorlesung durchgekaut wurde.

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Schön wärs. 

Eine Aufgabe wurde bereits auf nächste Woche verschoben, aber diese soll wohl zu bearbeiten sein, aber wie gesagt, keine Ahnung wie solche Aufgaben bearbeitet werden oder auf was ich achten muss.

Anscheinend soll es wohl doch irgendwie mit den Vorlesungssachen lösbar sein.

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Um was geht's denn in der Vorlesung und was wurde bisher behandelt?

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Die Vorlesung heißt "Gewöhnliche Differentialgleichungen". 

In den Antworten unten wurden Sachen gesagt wie "Trennung der Variablen". Kam mit keinem Wort in der Vorlesung vor. 

Es gab anfangs mehrere Beispiele, unter anderem auch ein Populationsbeispiel. Meine Gleichung ist wohl eine "logistische Gleichung". 

Weiter gab es eine Bemerkung, dass wir uns mit expliziten Gleichungen beschäftigen werden, gefolgt von Definitionen und Bemerkungen zu Funktionen 1.Ordnung. 

 Dann gab es eine etwas zu Vektorfeldern. Und das wars. 

Natürlich gab es Beispiele, die einem wie immer nicht weiterhelfen. Eine "Anleitung", wenn man so will, wie solche Gleichungen gelöst werden gibt es auch nicht.

Answer 1

Ein Anfang ...

Du brauchst Kenntnisse über das Verfahren zur Lösung der DGL , Trennung der Variablen und dann später

die Partialbruchzerlegung .

Jetzt hast Du A und B und kannst die Integrale lösen und damit die DGL.

 

Comments

"Kenntnisse" habe ich keine. "Trennung der Variablen" ist eher ein Fremdwort. 

Habe nur rausgefunden, das meine Gleichung eine logistische Gleichung ist.

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Ja, es ist eine logistische DGL , die durch Trennung der Variablen" gelöst wird.

Hier einige Links, die weiterhelfen sollen:

https://www.youtube.com/watch?v=qLWpIKqARlM

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node183.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

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Also ich hab etwas rumprobiert und hab folgendes Ergebnis nach Partialbruchzerlegung (bei der ich teils andere Werte hatte) und Integralberechnung:

$$ \frac {1}{1035} \ ln\ (\frac {1}{5}  - \frac { 1 }{ 5175}x ) - 5 \ln(x) = t $$

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Meine Berechnung:

Du kannst hier nach x auflösen oder wenn Du die AWB gleich einsetzt ,brauchst Du es nicht.

(so wie Ihr das in der Vorlesung hattet)

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Ist ja der Witz, wir hatten nichts in der Vorlesung. 

Ich hab es eben nochmal nachgerechnet und habe jetzt $$ 5 \ ( ln\ (1035-x) + ln (x)) = t $$, was mir von den Zahlen her irgendwie besser gefällt.

Und jetzt anscheinend nur noch nach x auflösen ?

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Bei Dir fehlt die Integrationskonstante

Ja oder  x(0)=10 in die Zeile mit C_1 einsetzen und auflösen.

Man bekommt das gleiche Ergebnis.

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Ich würde lieber nach x auflösen. Habe aber irgendwie nen Hänger.

Habe momentan $$ (1035-x)x = e^{\frac {t}{5}} $$  bzw.  $$ (1035-x(t)) x(t)  = e^{\frac {t}{5}} $$          

Wie geht es nun weiter ?

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Hallo

das wird so nichts, Es fehlt bei Dir die Integrationskonstante C_1,

denn Du hast ja auf der rechten Seite das Integral

∫ dt und das ist t +C_1

Man hat 2 Integrationskonstanten, eine auf der linken und eine auf der rechten Seite .

Man fässt die zu einer zusammen und die steht dann meistens rechts.

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Hmm, ok. Aber auch wenn ich die Integrationskonstante dranhänge, ändert sich da nichts so viel bei mir und ich steh wieder an der selben Stelle.

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ok . ich habe es ja nur gut gemeint , dann gehe Deinen Weg .

Um Deine Frage zu beantworten , nehme ln auf beiden Seiten .

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Ich habe keinen Weg, denn ich gehen kann. Ich weiß nicht mal was ich gemacht habe, weil ich nicht weiß wie ich solche Aufgaben lösen soll.

Aber ok, trotzdem danke für deine Hilfe.

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Hey Grosserloewe!

deine Lösung schein korrekt zu sein!

Kannst du mir evt. erklären wie du auf das C_1 gekommen bist? 

bzw. auf dein x(t)?

Da x(0)=10 muss C_1=-5*ln(-1035)+5ln(10) das ist aber eine ganz hässliche Zahl!

Forme ich nach X(t) um und lasse C_1 erstmal C_1 sein kommt:

x(t)=(1035*e^{(t+c)/5})/(e^{(t+c)/5}-1)

Lieben Dank schon mal!

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Hat sich erledigt! Habe meinen Fehler gesehen :)
Dank dir trotzdem!

Answer 2

Trennung der Variablen

$$ \frac {dx}{dt}=\frac {1}{5}\cdot x -\frac {1}{5175}\cdot x^2$$

$$ \frac {dx}{\frac {1}{5}\cdot x -\frac {1}{5175}\cdot x^2}=dt$$

Dann beide Seiten integrieren...
Vgl.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=integral+1÷%281%2F5*x-1%2F5175*x%5E2%29&x=0&y=0
und
http://m.wolframalpha.com/input/?i=5*log%28x%29-5*log%281035-x%29%3Dt&x=8&y=7

Ergebnis siehe
http://m.wolframalpha.com/input/?i=x%27%3D1÷5*x-1÷1÷5175*x%5E2&x=4&y=7

Comments

Also nach mehreren Versuchen und Rechnereien habe ich nach dem Integrieren die selben Ergebnisse wie du. Aber wie geht es weiter ?

Muss ich nun nach x umstellen, sodass ich x = .... stehen habe ?

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ja

$$ 5*log(x)-5*log(1035-x)=t$$

$$ 5*(log(x)-log(1035-x))=t$$

$$ log(\frac {x}{1035-x})=\frac{t}{5}$$

$$ \frac {x}{1035-x}=e^\frac{t}{5}$$

$$ x=e^\frac{t}{5}*(1035-x)$$

$$ x+x*e^\frac {t}{5}=1035*e^\frac{t}{5}$$

$$ x=\frac{1035*e^\frac{t}{5}}{1+e^\frac{t}{5}}$$