Konvergenz von Kehrwerten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für eine Folge \( a_{n} \) gilt:
(i) Aus \( a_{n} \rightarrow+\infty \) folgt \( 1 / a_{n} \rightarrow 0 \).
(ii) Aus \( a_{n} \rightarrow 0 \) und \( a_{n}>0 \) folgt \( 1 / a_{n} \rightarrow+\infty \).
(iii) Geben Sie eine Folge \( a_{n} \) mit \( a_{n} \rightarrow 0 \) und \( a_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) an, für welche die Folge der Kehrwerte nicht konvergiert (weder eigentlich noch uneigentlich) und beweisen Sie dies.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

zu i): Sei \( \lim \limits_{n \to \infty}a_n = + \infty\). Sei \( \varepsilon > 0 \) beliebig. Dann existiert ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( a_n \geq \frac{1}{\varepsilon} \,\, \forall n \geq N \)

\( \Rightarrow \bigl|\frac{1}{a_n} - 0 \bigl| = \frac{1}{a_n} \leq \varepsilon   \,\, \forall n \geq N \Rightarrow\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0 \).

zu ii). Sei \( R > 0 \). Da \( a_n \to 0\, (n \to \infty) \) und \( a_n >0 \) für alle \( n\in\mathbb{N} \) gibt es zu  \( \varepsilon\coloneqq\frac{1}{R}\) ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( a_n = |a_n| \leq \varepsilon = \frac{1}{R} \, \, \forall n \geq N. \Rightarrow \frac{1}{a_n} \geq R \,\, \forall n\geq N \), d.h. \( \frac{1}{a_n} \to +\infty \,(n \to \infty) \)

Betrachte bei iii) etwa \( a_n = \frac{(-1)^n }{n}, \,\,n \in \mathbb{N} \)