Ableitungen erster und zweiter Ordnung und Hesse-Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

an der Stelle (x₁,x₂) = (−2,0).

Welche Einträge hat folgende Hesse-Matrix f '' (-2,0)?

Welche Determinante beträgt diese Hesse-Matrix?

An dieser Stelle ist die Funktion konvex oder konkav?

Problem/Ansatz:

Comments

Und wo gibt es dabei was für Schwierigkeiten?

Answer 1

Aloha :)

Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen. Das bedeutet etwas Arbeit:

$$f(x;y)=2y+6x^2+xy-5y^2-4x^3-x^2y$$$$\frac{\partial f}{\partial x}=12x+y-12x^2-2xy$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=2+x-10y-x^2$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}=12-24x-2y\quad\implies\quad\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(-2;0)=60$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=1-2x\quad\implies\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(-2;0)=5$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1-2x\quad\implies\quad\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(-2;0)=5$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}=-10\quad\implies\quad\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(-2;0)=-10$$Damit lautet die Hesse-Matrix:$$f''(-2;0)=\left(\begin{array}{rr}60 & 5\\5 & -10\end{array}\right)$$Die Determinante dieser Hesse-Matrix ist \(-600-25=-625\).

Der erste Hauptminor ist \(60\), der zweite Hauptminor ist \(-625\). Daher ist die Matrix indefinit, sodass die Abbildung an der Stelle \((-2;0)\) weder konkav noch konvex ist.