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Aufgabe: Die Exponentialfunktion ist definiert durch


\( \exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \exp (x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} \)
und sie erfüllt \( \exp (0)=1 \) und das Potenzgesetz: \( \exp (x+y)=\exp (x) \cdot \exp (y) \), für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).

Zeigen Sie:
a) \( \exp (x) \cdot \exp (-x)=1 \), für alle \( x \in \mathbb{R} \).
b) \( \exp (x)>0 \), für alle \( x \in \mathbb{R} \).
c) \( \exp (x) \geq 1+x \), für alle \( x \geq 0 \), und folgern Sie daraus, dass \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \exp (x)=+\infty \).
d) Bestimmen Sie den Grenzwert der konvergenten Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \cdot \frac{2021^{k}}{k !} \).

Problem/Ansatz:

Das ist das erste mal, dass ich Behauptungen mit exp(x) beweisen muss. Ich weiß leider nicht, wie ich hier vorgehen soll. Könnte mir das jemand vorrechnen?

Bei der d) muss man das Wurzelkriterium verwenden, oder?

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Die Gültigkeit des Potenzgesetzes exp(x+y)=exp(x)*exp(y)

darfst du doch wohl benutzen, steht ja wie eine Vor. oben

drüber. dann vielleicht so:

a) Ersetze im Gesetz y durch -x und schreibe es von rechts nach links

exp(x)*exp(-x)=exp(x+(-x)) = exp(0)=1 [War auch vorausgesetzt.]

b)  Da verwende die Definition mittels Reihe:

Sei x>0, dann sind alle Summanden positiv, also auch der Reihenwert.

Für x=0 gibt es ja (s. Vor.) eine 1, also auch positiv.

Für x<0 verwende wieder exp(x)*exp(-x) = 1 , dann ist ja -x > 0

also der zweite Faktor positiv. Da das Ergebnis auch positiv ist, muss

es der erste Faktor auch sein.

c) Sei also x≥0. Betrachte den Anfang der Reihe ausgeschrieben

exp(x) = \(  \frac{x^0}{0!}   +  \frac{x^1}{1!} + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)

= \(  1 +  x + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)

= \(  1 +  x + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)

Und der 3. Summand, also die Reihe hat für x≥0 sicher keinen

negativen Wert, also

exp(x) = 1 + x + was nicht negatives

==> exp(x) ≥ 1 + x

Wenn also x gegen unendlich geht und exp(x) größer als x ist,

dann geht auch exp(x)  gegen unendlich.

d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \cdot \frac{2021^{k}}{k !}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} - \frac{(-2021)^{k}}{k !} =- \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-2021)^{k}}{k !} = -exp(-2021)\)

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