Die Gültigkeit des Potenzgesetzes exp(x+y)=exp(x)*exp(y)
darfst du doch wohl benutzen, steht ja wie eine Vor. oben
drüber. dann vielleicht so:
a) Ersetze im Gesetz y durch -x und schreibe es von rechts nach links
exp(x)*exp(-x)=exp(x+(-x)) = exp(0)=1 [War auch vorausgesetzt.]
b) Da verwende die Definition mittels Reihe:
Sei x>0, dann sind alle Summanden positiv, also auch der Reihenwert.
Für x=0 gibt es ja (s. Vor.) eine 1, also auch positiv.
Für x<0 verwende wieder exp(x)*exp(-x) = 1 , dann ist ja -x > 0
also der zweite Faktor positiv. Da das Ergebnis auch positiv ist, muss
es der erste Faktor auch sein.
c) Sei also x≥0. Betrachte den Anfang der Reihe ausgeschrieben
exp(x) = \( \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)
= \( 1 + x + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)
= \( 1 + x + \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\)
Und der 3. Summand, also die Reihe hat für x≥0 sicher keinen
negativen Wert, also
exp(x) = 1 + x + was nicht negatives
==> exp(x) ≥ 1 + x
Wenn also x gegen unendlich geht und exp(x) größer als x ist,
dann geht auch exp(x) gegen unendlich.
d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \cdot \frac{2021^{k}}{k !}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} - \frac{(-2021)^{k}}{k !} =- \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-2021)^{k}}{k !} = -exp(-2021)\)
