Rekursive Abbildung, zeigen Sie dass...

Question

Wir definieren durch

exp(m, 0) = 1 für alle m ∈ ℕ

exp(m, e + 1) = m · exp(m, e) für alle  m, e ∈ ℕ

rekursiv eine Abbildung exp: ℕ × ℕ → ℕ

(a) Zeigen Sie, dass

exp(m, d + e) = exp(m, d) · exp(m, e) für alle  m, d, e ∈ N.

(b) Zeigen Sie, dass

exp(exp(m, e), d) = exp(m, e · d) für alle m, d, e ∈ N

Kann mir bitte jemand erklären wie ich das zeigen kann? Ich verstehe es einfach nicht :/

Comments

Versteht irgendjemanden vielleicht mindestens was diese Vorschriften für die Funktion sagen wollen ? :D

---

Bitte helft mir , ich bin am verzweifeln :/

---

Vom Duplikat:

Titel: Beweise für Gleichungen mit exp(m,0) und exp(m,e+1)

Stichworte: beweise

Wir definieren durch

exp(m,0) = 1 für alle m ∈ N

exp(m,e+1) = m · exp (m,e) für alle m, e ∈ N

rekursiv eine Abbildung exp: N × N → N.

(a) Zeige, dass exp(m,d+e) = exp(m,d) · exp(m,e) für alle m, d, e ∈ N.

(b) Zeige, dass exp(exp(m, e), d) = exp(m, e · d) für alle m, d, e ∈ N.

Ich habe leider keine Idee für diese Aufgabe. Bitte um Hilfe, danke :)

---

Hallo Isabell,

hier findest Du die Antwort auf Deine Frage

---

Oh dankeschön. Hab ich gar nicht gesehen, dass die Frage schon gestellt wurde

Answer 1

Hallo,

zum Verständnis: ersetze doch mal $$\operatorname{exp}(x,\,y) = x^y$$und dann gehe die ganze Aufgabe noch mal von vorne durch.

zu (a): es zu zeigen, dass $$\operatorname{exp}(m,\,d + e) =\operatorname{exp}(m, d)\cdot\operatorname{exp}(m,\,e) \quad\forall m,\,d,\,e \in \mathbb N$$Beweis über vollständige Induktion. Beginne mit \(d=0\) (auch wenn \(0 \not\in \mathbb N\)). Es ist$$\operatorname{exp}(m,\,0 + e)=\underbrace{\operatorname{exp}(m,\,0)}_{=1} \cdot\operatorname{exp}(m,\,e) \space\checkmark$$das wäre der Induktionsanfang. Wir nehmen an, es ist für ein \(d\) korrekt und machen den Schritt nach \(d+1\)$$\begin{aligned}\operatorname{exp}(m,\,d +1+ e) &= m\cdot\operatorname{exp}(m,\,d + e)\\ &=m\cdot \underbrace{\operatorname{exp}(m,\,d)\cdot\operatorname{exp}(m,\,e)}_{\text{lt. Annahme}} \\&=\operatorname{exp}(m,\,d+1)\cdot \operatorname{exp}(m,\,e)\\&=\text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Versuche (b) mal selber. Wenn Du Fragen hast, so frage möglichst konkret nach.

Gruß Werner

Comments

Wie starte ich bei (b) den Induktionsschritt?

---

Wie starte ich bei (b) den Induktionsschritt?

zu zeigen ist, dass $$\operatorname{exp}(\operatorname{exp}(m,\,e),\,d) = \operatorname{exp}(m,\, e\cdot d) \quad \forall m, d, e \in\mathbb N$$und wir nehmen auch gleich an, dass dies für \(d=0\) erfüllt ist. Für \(d+1\) gilt dann$$\begin{aligned}\operatorname{exp}(\operatorname{exp}(m,\,e), d+1)&=\operatorname{exp}(m,\,e)\cdot\underbrace{\operatorname{exp}(\operatorname{exp}(m,\,e), d)}_{\text{lt. Vorr.:}=\operatorname{exp}(m,\,e\cdot d)} \\&=\operatorname{exp}(m,\,e)\cdot\operatorname{exp}(m,\,e\cdot d)  &&|\,\text{s. (a)}\\&=\operatorname{exp}(m,\,e+e\cdot d)\\&=\operatorname{exp}(m,\,e(d+1))\\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner