Question

Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen (a_n), (b_n), (c_n), (d_n), n ∈ℕ0, definiert durch;

(a) \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{3 n} \);
(b) \( b_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \);
(c) \( c_{n}=\left(1-\frac{(-1)^{n}}{n}\right)^{n} \);
(d) \( d_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} q^{k}, q \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Zum Vergleichen:

(a): einziger Häufungspunkt (HP) ist \(e^{3/2}\).

(b): einziger HP ist \(e^{-1}\).

(c): HPe sind \(e\) und \(e^{-1}\)

(d): Im Falle \(|q|<1\) ein HP, nämlich \(\frac{1}{1-q}\)

Im Falle \(q=1\) kein HP.

Im Falle \(q=-1\) HPs: \(0\) und \(1\).

Im Fall \(|q|>1\) kein HP.

Comments

könnten Sie nen groben Rechenweg für a geben? Das wäre super hilfreich

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Sei \(m=2n\). Dann ist \(a_n=(1+\frac{1}{m})^{\frac{3}{2} m}=\)

\(=((1+\frac{1}{m})^m)^{3/2}\)

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danke, dass war sehr hilfreich... hätten sie auch noch den Ansatz für d_n ?

Da komm ich irgenwie nicht wirklich weiter. Also hauptsächlich bei ΙqI < 1