Berechnen Sie den Inhalt der Fläche Integral

Question

Aufgabe:

7 Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{2}\left(x^{2}-2\right)+1 \). Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die
b) der Graph von \( f \) und die Gerade mit der Gleichung \( y=1 \) über \( [-1 ; 1] \) einschließen

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht Ganz wie ich hier vorgehen soll.

Ein erklärter Rechenweg wäre nett

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7 Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{2}\left(x^{2}-2\right)+1 \). Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die  der Graph von \( f \) und die Gerade mit der Gleichung \( y=1 \) über \( [-1 ; 1] \) einschließen.

Fläche unter der Geraden y=1

A₁=2*\( \int\limits_{0}^{1} \)1*dx= [2x] in gegebenen Grenzen: 2*1-2*0=2

Fläche unter der Parabel 4. Grades (symmetrisch zur y Achse)

A₂=2*\( \int\limits_{0}^{1} \)(x^4-2x^2+1)*dx=

=2*[ \( \frac{1}{5} \)x^5- \( \frac{2}{3} \)x^3+x] in gegebenen Grenzen:

2*[ \( \frac{1}{5} \)- \( \frac{2}{3} \)+1]-2*0=\( \frac{16}{15} \)

Gesuchte Fläche A=A₁-A₂

A=2-\( \frac{16}{15} \)=\( \frac{14}{15} \)

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Dankeschön, wie ist man jetzt aber genau auf A₁ gekommen? Also was bedeuten diese [2x] bzw. woher kommen die?

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A₁ ist die Fläche y=1 im Intervall 0 bis 1.

Du musst nun die Fläche verdoppeln, weil die Gerade symmetrisch zur y-Achse liegt. Wenn du das Integral 1*dx bildest und verdoppelst , bekommst du 2x . Da nun die Grenzen einsetzen ist A₁=2. Das siehst du auch an der Zeichnung.

Answer 1

Du sollst die abgebildete Fläche berechnen:

Comments

Überlege dir das Bild noch einmal.

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Den Klammerfehler der verwendeten Funktionsgleichung habe ich schon vor 4 Minuten korrigiert.

Answer 2

Hallo,

ich habe dir eine Skizze gemacht. Die roten Flächen sind gesucht. Wegen der Symmetrie reicht es jedoch, wenn du entweder das Integral von -1 bis 0 oder das von 0 bis 1 ausrechnest und dein Ergebnis verdoppelst.

Kommst du jetzt zurecht?

Gruß, Silvia

Answer 3

moinsen,

naja für die Berechnung des Flächeninhaltes benötigst du dein Integral.

Jetzt stellt sich die Frage, welche Funktion du Integrieren musst und in welchen Grenzen.

Wenn du die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Graphen berechnen sollst, musst du über die Differenz der beiden Funktionen integrieren: D.H. f(x)-g(x)= x^2(x^-2) ok. jetzt benötigen wir die Grenzen, dass sind die Schnittstellen deiner Differenzfunktion mit der x-Achse. Finden wir die also raus, dazu 0 setzten -> 0=f(x)-g(x) gut aber das Prduukt ist 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist also sind die Nullstellen 0, Wurzel 2 und (- Wurzel 2) aber nur 0 liegt in deinem Intevall von -1 bis 1 -> wir haben die Integrale von -1 bis 0 deiner Differenzfunktion + Integral von 0 bis +1 deiner Differenzfunktion. Dann einmal integrieren und am Ende den BEtrag nehmen. Fertig