Mittels vollständiger Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( \mathbb{R} \), die rekursiv definiert ist durch
\( x_{1}=1 \quad \text { und } \quad x_{n+1}=1-\frac{1}{4 x_{n}} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} \text {. } \)
(a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \( x_{n}>\frac{1}{2} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) streng monoton fallend ist.
(c) Folgern Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent ist, und bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).

Answer 1

(c) Sei g der Grenzwert, dann gilt g=1-\( \frac{1}{4g} \). Die Lösung dieser Gleichung ist g=\( \frac{1}{2} \).

Answer 2

(a):

Ich zeige \(x_n\gt 1/2\Rightarrow x_{n+1}\gt 1/2\).

\(x_n\gt 1/2\Rightarrow 4x_n> 2\Rightarrow \frac{1}{4x_n}\lt 1/2\Rightarrow\)

\(x_{n+1}=1-\frac{1}{4x_n}\gt 1-1/2=1/2\).

(b):

\(x_{n+1}-x_n=1-\frac{1}{4x_n}-x_n=\frac{4x_n-1-4x_n^2}{4x_n}=\)

\(-\frac{4x_n^2-4x_n+1}{4x_n}=-\frac{(2x_n-1)^2}{4x_n}\lt 0\), da \(x_n\gt 1/2\).

Zu (c):

Da die Folge monoton fällt und nach unten beschränkt ist,

konvergiert sie.