Question

Zeigen Sie, dass für alle x1,x2 ∈ R die folgende Ungleichung gilt:
| sin(2x2) − sin(2x1)| ≤ 2|x2 − x1|. Hinweis: Benutzen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Answer 1

Betrachte f(x)=sin(2x) mit f'(x)=2cos(x) .

Ich nehme a,b statt x1, x2 .

Dann gilt für alle a,b mit a≠b (Für a=b stimmt die Ungleichung eh 0≤0.)

Es gibt ein c zwischen a und b mit

(f(b)-f(a)) / (b-a)  = f ' (c)   [Mittelwertsatz]

==>  sin(2b)-sin(2a) = 2cos(c)*(b-a)

==> | sin(2b)-sin(2a) |= 2|cos(c)| *b-a|

Da |cos(c)| ≤1 für alle c∈ℝ gilt, ist damit die Ungleichung bewiesen:

| sin(2b)-sin(2a) |= 2|cos(c)| *b-a| ≤  2*1 *|b-a| =  2 *|b-a|