Beweisen sie, dass für bestimmte xi die folgende Ungleichung gilt: (1+x1)*....*(1+xn) <= 1/(1-(x1+....+xn))

Question

Beweisen sie: Für x₁,...,x_n>=0 und x₁+...+x_n<1git:

                  (1+x₁)*....*(1+x_n) <= 1/(1-(x₁+....+x_n))

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Hast du schon mal HN (Hauptnenner) gerechnet? Gibt das nichts Schlaues?

Answer 1

Hi,
man kann das per Induktion machen. Der Induktionsanfang für \( n=1 \) sollte klar sein. Jetzt ist also zu zeigen
$$ (1) \quad \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1} x_k}  $$ unter der Voraussetzung das gilt
$$ (2) \quad \prod_{k=1}^{n} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n} x_k}  $$
Weil nach Voraussetzung gilt
$$ \sum_{k=1}^{n+1} x_k \ge 0 $$ gilt auch
$$ 1 + x_{n+1} - \frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k}-\frac{x_{n+1}^2}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \le 1 $$
Das ist aber identisch zu
$$ \left( 1+x_{n+1} \right) \left( 1-\frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \right) \le 1 $$ und das ist identisch zu
$$ \frac{1+x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^{n}x_k} \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1}x_k} $$
Für die linke Seite gilt aber die Induktionsvoraussetzung \( (2) \) und damit folgt die Behauptung.
Bei den Umformungen muss jeweils berücksichtigt werden das gilt
$$  x_k \ge 0 $$ und
$$  1-\sum_{k=1}^n x_k > 0  $$

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Ullim das sieht so interessant aus. Ich folge immer deinen Antworten :)

Ich will das auch mal können:(

Ein Pluspunkt von mir :)