Beweisen sie: Für x1,...,xn>=0 und x1+...+xn<1git:
(1+x1)*....*(1+xn) <= 1/(1-(x1+....+xn))
Hast du schon mal HN (Hauptnenner) gerechnet? Gibt das nichts Schlaues?
Hi,man kann das per Induktion machen. Der Induktionsanfang für \( n=1 \) sollte klar sein. Jetzt ist also zu zeigen$$ (1) \quad \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1} x_k} $$ unter der Voraussetzung das gilt$$ (2) \quad \prod_{k=1}^{n} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n} x_k} $$Weil nach Voraussetzung gilt$$ \sum_{k=1}^{n+1} x_k \ge 0 $$ gilt auch$$ 1 + x_{n+1} - \frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k}-\frac{x_{n+1}^2}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \le 1 $$Das ist aber identisch zu$$ \left( 1+x_{n+1} \right) \left( 1-\frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \right) \le 1 $$ und das ist identisch zu $$ \frac{1+x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^{n}x_k} \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1}x_k} $$Für die linke Seite gilt aber die Induktionsvoraussetzung \( (2) \) und damit folgt die Behauptung.Bei den Umformungen muss jeweils berücksichtigt werden das gilt$$ x_k \ge 0 $$ und$$ 1-\sum_{k=1}^n x_k > 0 $$
Ullim das sieht so interessant aus. Ich folge immer deinen Antworten :)
Ich will das auch mal können:(
Ein Pluspunkt von mir :)
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