Beweisen sie: Für x1,...,xn>=0 und x1+...+xn<1git:
(1+x1)*....*(1+xn) <= 1/(1-(x1+....+xn))
Hast du schon mal HN (Hauptnenner) gerechnet? Gibt das nichts Schlaues?
Hi,man kann das per Induktion machen. Der Induktionsanfang für n=1 n=1 n=1 sollte klar sein. Jetzt ist also zu zeigen(1)∏k=1n+1(1+xk)≤11−∑k=1n+1xk (1) \quad \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1} x_k} (1)k=1∏n+1(1+xk)≤1−∑k=1n+1xk1 unter der Voraussetzung das gilt(2)∏k=1n(1+xk)≤11−∑k=1nxk (2) \quad \prod_{k=1}^{n} (1+x_k) \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n} x_k} (2)k=1∏n(1+xk)≤1−∑k=1nxk1Weil nach Voraussetzung gilt∑k=1n+1xk≥0 \sum_{k=1}^{n+1} x_k \ge 0 k=1∑n+1xk≥0 gilt auch1+xn+1−xn+11−∑k=1nxk−xn+121−∑k=1nxk≤1 1 + x_{n+1} - \frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k}-\frac{x_{n+1}^2}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \le 1 1+xn+1−1−∑k=1nxkxn+1−1−∑k=1nxkxn+12≤1Das ist aber identisch zu(1+xn+1)(1−xn+11−∑k=1nxk)≤1 \left( 1+x_{n+1} \right) \left( 1-\frac{x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^n x_k} \right) \le 1 (1+xn+1)(1−1−∑k=1nxkxn+1)≤1 und das ist identisch zu 1+xn+11−∑k=1nxk≤11−∑k=1n+1xk \frac{1+x_{n+1}}{1-\sum_{k=1}^{n}x_k} \le \frac{1}{1-\sum_{k=1}^{n+1}x_k} 1−∑k=1nxk1+xn+1≤1−∑k=1n+1xk1Für die linke Seite gilt aber die Induktionsvoraussetzung (2) (2) (2) und damit folgt die Behauptung.Bei den Umformungen muss jeweils berücksichtigt werden das giltxk≥0 x_k \ge 0 xk≥0 und1−∑k=1nxk>0 1-\sum_{k=1}^n x_k > 0 1−k=1∑nxk>0
Ullim das sieht so interessant aus. Ich folge immer deinen Antworten :)
Ich will das auch mal können:(
Ein Pluspunkt von mir :)
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