Ein Element [x]≡m von ℤ_m ist genau dann bezüglich · invertierbar, ...

Question

Aufgabe:

Sei $m ∈ \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}$. Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung von Satz 11: Ein Element $[x]_{≡m}$ von $\mathbb{Z}_m$ ist genau dann bezüglich · invertierbar, wenn gcd(x, m) $= 1$ gilt.

Problem/Ansatz:

Die eine Richutng zu Beweisen ist ja leicht da ein vielfaches von m in der Restklassen immer 0 ist somit faellt dass weg und man kannn zeigen das [1] = [a] * [u] ist.

Aber wie kann ich zeigen, dass wenn ein Inverses zu a existiert das dann auch folgt das der gcd(x, m) = 1 ist?

Comments

Wenn b invers zu a dann ist

[a*b] = [a] * [b] = [1]

Auf Ebene der ganzen Zahlen heißt das

a*b = 1 + m*k für ein k

Bzw. a*b - m*k = 1.

Die linke Seite ist hier durch ggT(a,m) teilbar.

Answer 1

Siehe https://www.mathelounge.de/884541/zeigen-sie-dass-genau-dann-ein-nul…