Absolute Konvergenz Beweisaufgabe

Question

Text erkannt:

Es sei $\left(a_{k}\right)_{k \geq 1}$ eine Folge. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Konvergiert die Reihe $\sum \limits_{k} a_{k}$ absolut, dann gilt $\inf \left\{k\left|a_{k}\right| \mid k \in \mathbb{N}, k \geq n\right\}=0 \quad$ für jedes $n \in \mathbb{N}$.
(b) Ist nun $\left(a_{k}\right)_{k \geq 1}$ reell und $a_{k} \geq 0$ für alle $k \in \mathbb{N}$, so gilt:
$\sum \limits_{k \geq 1} a_{k} \text { konvergiert } \Longleftrightarrow \sum \limits_{k \geq 1} \frac{a_{k}}{1+a_{k}} \text { konvergiert. }$

Ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. Hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Vielen Dank.

Answer 1

Zu a)

Wenn das inf nicht für jedes n gleich 0 ist, dann gibt es ein n, so dass das inf=e>0 ist. Das bedeutet:

$$\forall k \geq n: \quad k|a_k| \geq e \Rightarrow |a_k| \geq \frac{e}{k}$$

Dann wäre also die harmonische Reihe mit Faktor e ab dem Index n divergente Minorante für die Reihe über die |a_k|. Diese wäre dann nicht konvergent.

Gruß Mathhilf

Answer 2

Zu (b):

"$\Rightarrow$":

Offenbar ist wegen $a_n\geq \frac{a_n}{1+a_n}$ die Reihe

$\sum a_n$ eine konvergente Majorante von $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$

"$\Leftarrow$":

Da die rechte Reihe konvergiert, bilden ihre Glieder eine Nullfolge.

Daher gibt es zu $\epsilon=1/2$ eine nat. Zahl $N$ mit

$0\leq \frac{a_n}{1+a_n}< 1/2$ für alle $n\geq N$, d.h. $a_n\lt 1/2(1+a_n)$,

folglich $a_n\lt 1$ für alle $n\geq N$.

Damit ergibt sich $a_n=(a_n+1)\frac{a_n}{1+a_n}\lt 2\cdot \frac{a_n}{1+a_n}$

für alle $n\geq N$.

Somit ist $2\sum_{n\geq N}\frac{a_n}{1+a_n}$ eine konvergente Majorante für $\sum_{n\geq N} a_n$.