Absolute Konvergenz Beweisaufgabe

Question

Text erkannt:

Es sei \( \left(a_{k}\right)_{k \geq 1} \) eine Folge. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{k} a_{k} \) absolut, dann gilt \( \inf \left\{k\left|a_{k}\right| \mid k \in \mathbb{N}, k \geq n\right\}=0 \quad \) für jedes \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Ist nun \( \left(a_{k}\right)_{k \geq 1} \) reell und \( a_{k} \geq 0 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \), so gilt:
\( \sum \limits_{k \geq 1} a_{k} \text { konvergiert } \Longleftrightarrow \sum \limits_{k \geq 1} \frac{a_{k}}{1+a_{k}} \text { konvergiert. } \)

Ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. Hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Vielen Dank.

Answer 1

Zu a)

Wenn das inf nicht für jedes n gleich 0 ist, dann gibt es ein n, so dass das inf=e>0 ist. Das bedeutet:

$$\forall k \geq n: \quad k|a_k| \geq e \Rightarrow |a_k| \geq \frac{e}{k}$$

Dann wäre also die harmonische Reihe mit Faktor e ab dem Index n divergente Minorante für die Reihe über die |a_k|. Diese wäre dann nicht konvergent.

Gruß Mathhilf

Answer 2

Zu (b):

"\(\Rightarrow\)":

Offenbar ist wegen \(a_n\geq \frac{a_n}{1+a_n}\) die Reihe

\(\sum a_n\) eine konvergente Majorante von \(\sum \frac{a_n}{1+a_n}\)

"\(\Leftarrow\)":

Da die rechte Reihe konvergiert, bilden ihre Glieder eine Nullfolge.

Daher gibt es zu \(\epsilon=1/2\) eine nat. Zahl \(N\) mit

\(0\leq \frac{a_n}{1+a_n}< 1/2\) für alle \(n\geq N\), d.h. \(a_n\lt 1/2(1+a_n)\),

folglich \(a_n\lt 1\) für alle \(n\geq N\).

Damit ergibt sich \(a_n=(a_n+1)\frac{a_n}{1+a_n}\lt 2\cdot \frac{a_n}{1+a_n}\)

für alle \(n\geq N\).

Somit ist \(2\sum_{n\geq N}\frac{a_n}{1+a_n}\) eine konvergente Majorante für \(\sum_{n\geq N} a_n\).