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Aufgabe:

Beweise, dass die Mengen M und N gleichmächtig sind.

M = ℕ×ℕ

N = {k2+k|k ∈ ℕ}


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass |ℕ×ℕ| = |ℕ| gilt

komme aber bei N nicht weiter

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Beste Antwort

Das |ℕ×ℕ| = |ℕ| ist, hilft dir schon einmal weiter.


Sei Mengen M und N sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildungen von M nach N gibt (bzw. nach Satz von Schröder–Bernstein reicht es, wenn es eine injektive Abb von M nach N und eine injektive Abbildung von N nach M gibt).


Sei P = ℕ, musst also zeigen, dass es eine injektive Abb von N nach P gibt und eine von P nach N.

P nach N ist einfach (jeder natürlichen Zahl k wird ihr k²+k zugeordnet, dabei gilt, dass wenn k_1² + k_1 = k_2² + k_2 gilt, k_1 = k_2 ist (Nachweis MUSS geführt werden, sollte aber gehen)).


N nach P ist bisschen schwieriger. Du musst sozusagen die Elemente von P "durchnummerieren", oder du findest eine Umkehrabbildung, die ebenfalls injektiv ist.



Alternativ kannst du natürlich zeigen, dass die Abbildung vob P nach N bijektiv ist, also zusätzlich auch noch surjektiv. Dies ist aber im allgemeinen schwerer.

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Danke, das hat mir geholfen!

@Erdbeere Die Verwendung des Cantor-Bernstein-Schröder Theorems ist vielleicht ein bisschen hochgegriffen für eine solche Aufgabe

@Liszt das Theorem haben wie schon eigeführt und kann ddeshalb auch benutzt werden

Ja, ich wollte eben nur sagen, dass es nicht absolute notwendig ist.

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Wegen \( |\mathbb{N}|=|\mathbb{N} \times \mathbb{N}| \) gibt es eine Bijektion \( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} \). Wir müssen also lediglich eien Bijektion von \( \mathbb{N} \) nach \( N \) finden. Die Funktion \( k^{2}+k \) ist auf dem Interval \( [0, \infty) \) streng monoton wachsend und somit bijektiv, da sie unbeschränkt und stetig ist. Dementsprechend ist
\( \gamma: \mathbb{N}\rightarrow N, \quad \gamma(x)=x^{2}+x \)
eine Bijektion und daher
\( \gamma \circ \varphi: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow N \)
eine Bijektion.

Die Umkehrfunktion von \(\gamma\) von \( \gamma \) auf \( [0, \infty) \) ist gegeben durch
\( \begin{aligned} y=x^{2}+x & \Longleftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}=y+\frac{1}{4} \\ & \Longleftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=y+\frac{1}{4} \\ & \Longleftrightarrow x=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}, \quad \text { da } x \geq 0\\ &\Longrightarrow \gamma^{-1}(x) = \sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\end{aligned}\)

Avatar von 4,8 k

Dass strenge Monotonie Bijektivität impilziert kann ich nicht verwenden, da wir das noch nicht eingeführt haben, bisher gilt für uns nur, dass strenge Monotonie Injektivität impliziert

Strenge Monotonie impliziert auch nicht im Allgemeinen Bijektivität.

Passt es jetzt für dich? Ich habe nichts verwendet ausser zu zeigen, dass die Funktion eine Umkehrfunktion hat.

Vielen Dank, das ist eine große Hilfe!

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