Lösungen einer diophantischen Gleichung

Question

F₀=0, F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, ..., F_n, ... seien die Fibonacci-Zahlen. Zeige: x²-3xy+y²=1 hat die ganzzahligen Lösungen (F_2n|F_2n-2) und (F_2n|F_2n+2).

Comments

nette Aufgabe. Wenn man die 'geraden' Fibos \(F_{2n}\) mal mit \(G_k\) bezeichnet, dann gilt ja $$G_{k+1} = 3G_{k} - G_{k-1}$$wie Der_Mathecoach schon gezeigt hat.

Ich habe das noch mal in Desmos gegossen:

Im Negativen geht es natürlich genauso weiter. Es gilt ja$$G_k = \{\dots -8,\,-3,\,-1,\,0,\,1,\,3,\,8 \dots\}$$Wäre interessant zu zeigen, ob das die einzigen ganzzahligen oder rationalen(!) Koordinaten auf der Hyperbel sind.

Answer 1

Induktionsanfang ist, denke ich leicht. Zeige das es für (0, 1) stimmt.

Nimm jetzt die Fibonacci Zahlen

a(2n-2) = x
a(2n-1) = y - x
a(2n) = y
a(2n+1) = 2y - x
a(2n+2) = 3y - x

Ich möchte jetzt zeigen, dass wenn (a(2n-2), a(2n)) eine Lösung ist, dann ist auch (a(2n), a(2n+2)) eine Lösung.

y^2 - 3·y·(3·y - x) + (3·y - x)^2
= y^2 - 9·y^2 + 3·x·y + 9·y^2 - 6·x·y + x^2
= x^2 - 3·x·y + y^2