Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \mathcal{M}[\Phi] bezüglich der Standardbasen.

Question

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Aufgabe K6.4 (6 Punkte)
Sei \( \Phi \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) die lineare Abbildung, für die \( \Phi\left(\vec{e}_{1}\right)=\frac{9}{25} \vec{e}_{1}+\frac{12}{25} \vec{e}_{3}, \Phi\left(\vec{e}_{2}\right)=\overrightarrow{0} \) und \( \Phi\left(\vec{e}_{3}\right)=\frac{12}{25} \vec{e}_{1}+\frac{16}{25} \vec{e}_{3} \) sind.
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( \mathcal{M}[\Phi] \) bezüglich der Standardbasen.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Matrixdarstellung \( \mathcal{M}[\Phi] \), dass \( \Phi \) eine Projektion ist (s. Aufgabe \( \mathrm{K} 6.3) \).
(c) Sei \( \mathcal{Y}:=\left\{2 \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{2}+\vec{e}_{3}\right\} \). Zeigen Sie, dass \( \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^{3} \) eine Basis ist.
(d) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( A:=\mathcal{M}_{\mathcal{,} \mathcal{E}}[\Phi] \) bezüglich der Basis \( \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^{3} \) und der Standardbasis \( \mathcal{E}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3} \) und berechnen Sie \( A^{2}-A \).

Aufgabe:

Answer 1

Die Matrix kannst du ja ablesen:

$$M= \begin{pmatrix} \frac{9}{25} & 0 & \frac{16}{25}\\ 0 & 0 &0\\ \frac{12}{25} & 0 &  \frac{16}{25} \end{pmatrix}$$

und für b) zeige M^2 = M

Comments

können Sie bitte die d) machen?

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Berechne dazu die Bilder der Basisvektoren, also etwa für den ersten

\(   m \cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{18}{25}\\0\\\frac{24}{25} \end{pmatrix} \)

Dann hast du schon die erste Spalte der Matrix

$$A= \begin{pmatrix} \frac{18}{25} & ? & ?\\ 0 &? & ?\\ \frac{24}{25} & ? & ? \end{pmatrix}$$

Entsprechend mit dem 2. und 3. Basisvektor und du bekommst

$$A= \begin{pmatrix} \frac{18}{25} & 0 & \frac{12}{25}\\ 0 &0 & 0\\ \frac{24}{25} & 0 & \frac{16}{25} \end{pmatrix}$$

$$A^2-A= \begin{pmatrix} \frac{162}{625} & 0 & \frac{108}{625}\\ 0 &0 & 0\\ \frac{216}{625} & 0 & \frac{144}{625} \end{pmatrix}$$