Anwendung Bernoulli-L'Hospital Regel

Question

Hallo :)
ich brauche  eure Hilfe, weil ich seit Stunden an einer Grenzwert-Aufgabe rechne und nicht weiter komme.

Konkret geht es um:

Grenzwert für x strebt gegen 0 für: 1/x² * ln ((sin(x)/x)).

Es ist meiner Meinung nach Bernoulli-L'Hospital anzuwenden, da wir eine Gleichung der Form unendlich * 0 haben. Dementsprechend habe ich es umgeformt in

ln ((sin(x)/x)) geteilt durch x², damit wir die Gleichung unendlich/unendlich haben und dann ableiten können. Leider führen meine Rechnungen zu nichts.

Ist mein Weg bis hierher richtig oder habe ich einen Fehler gemacht`?
Vielen lieben Dank im Voraus, würde mich echt freuen, wenn mir jemand helfen kann!

Comments

  l´Hospital brachte auch bei mir kein Ergebnis. Warum ?

  Beispiel lim x-> ∞ von sin(x)  ist nicht definiert da die sin - Funktion
stets zwischen-1 und 1 osziliert.

  Deine Funktion ist eine Funktion mit Definitionslücken. Der Grenzwert
dürfte nicht bestimmt sein.

  Schau dir deine Funktion einmal mit dem Funktionsplotter oben rechts
auf dieser Seite an.

  mfg Georg

  Nachtrag : die Antwort gilt nicht da gefragt wurde lim x -> 0

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  l´Hospital ergab beim ersten Mal

  ( cos(x) * x - sin(x)  )/ ( 2*x^2*sin(x) )

  wieder 0 / 0 und beim 2.Mal auch wieder 0 / 0.

  Ich bin also auch nicht weitergekommen.

  mfg Georg

Answer 1

$$\cal\Large{}$$$$0=\lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin x}{x}}{x^2}-\lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin{2x}}{2x}}{4x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin x}x}{x^2}-\lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin x\cos x}x}{4x^2}$$$$0=\lim_{x\to0}\frac{\frac1{\tan x}-\frac1x}{2x}-\lim_{x\to0}\frac{\frac1{\tan x}-\tan x-\frac1x}{8x}$$$$0=\lim_{x\to0}\left(\frac34\frac{\frac1{\tan x}-\frac1x}{2x}+\frac{\tan x}{8x}\right)=\lim_{x\to0}\frac34\frac{\log\frac{\sin x}x}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{1+\tan^2x}8.$$$$\text{Daraus folgt }\lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin x}x}{x^2}=-\frac16.$$