\( A \) ist messbar, da z.B. für \( q_{k}=\frac{1}{2} \) gilt, dass
\(\begin{aligned} I_{\delta}=\left[\frac{1}{2}-\delta, \frac{1}{2}+\delta\right] \subseteq A, \quad 0<\delta=\frac{\min \left\{\frac{1}{2}, \epsilon\right\}}{2}\end{aligned} \)
und \( \mu\left(I_{\delta}\right)=\delta>0 \). Die offensichtliche Überdeckung von \( A \) ist
\(\begin{aligned} \left\{\left(q_{n}-\frac{\epsilon}{2^{n+1}}, q_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right) \mid n \in \mathbb{N}\right\}\end{aligned} \)
und somit ist
\(\begin{aligned} \mu(A) \leq \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^{n}}=\epsilon\end{aligned} \)
Sei nun \( x \in \partial A \). Dann gilt \( x \in[0,1] \) da für jedes \( x \notin[0,1] \) ein \( \delta \) existiert, sodass
\( \mathrm{B}_{\delta}(x) \cap[0,1]=\varnothing \)
da \( \mathbb{R} \backslash[0,1] \) offen ist. Weiterhin gilt \( \begin{aligned}x \notin\left(q_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n-1}}, q_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right) \cap(0,1)\end{aligned} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), also \( x \notin A \), da für jedes \( y \in A \) ein \( \delta>0 \) existiert,
Mit der Additivität des Maßes gilt dann
\( \begin{aligned} & \mu([0,1])=\mu(([0,1] \backslash A) \cup A)=\mu([0,1] \backslash A)+\mu(A) \\ \Longleftrightarrow & \mu([0,1]) \leq \mu([0,1] \backslash A)+\epsilon \\ \Longleftrightarrow & 1-\epsilon \leq \mu([0,1] \backslash A)=\mu(\partial A) . \end{aligned} \)
c) Ein Beispiel währen die rationalen Zahlen. Es gilt schliesslich \( \mu(\mathbb{Q})=0 \leq \epsilon \), da für alle \( \delta>0 \) die Menge
\(\begin{aligned} V=\left\{\left[q_{n}-\frac{\delta}{2^{n+1}}, q_{n}+\frac{\delta}{2^{n+1}}\right] \mid n \in \mathbb{N}\right\}\end{aligned} \)
eine Überdeckung von \( \mathbb{Q} \) ist und
\(\begin{aligned} \mu(V) \leq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\delta}{2^{n}}=\delta\end{aligned} \)
Nun ist aber \( \partial \mathbb{Q}=\mathbb{R} \) da die irrationalen Zahlen dicht in \( \mathbb{R} \) sind und somit für jedes \( q \in \mathbb{Q} \) und jedes \( \delta>0 \) ein \( r \in \mathbb{R} \) existiert mit \( r \in \mathrm{B}_{\delta}(q) \Longrightarrow q \in \partial \mathbb{Q} \).
Dementsprechend ist \( \mu(\partial \mathbb{Q})=\mu(\mathbb{R})=\infty \)
