Hallo,
An jeder Ecke kann die Ameise eine von drei Kanten wählen. Wählt sie diese zufällig ist die Wahrscheinlichkeit für eine Kante jeweils \(1/3\). Sie kann also mit einer Wahrscheinlichkeit von \((1/3)^2=1/9\) auf direktem Weg zum Ziel über die linken Seite oder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit über die rechte Seite. Zusammen erreicht sie mit einer Wahrscheinlichkeit von \(2/9\) die gegenüberliegende Ecke über zwei Kanten (der Grundseite).
Wenn die Ameise aber nach der ersten Kante wieder zurück läuft, erreicht wie wieder ihren Startpunkt. Diese Wahrscheinlichkeit ist genauso groß wie oben - also \(2/9\). Sollte sie diesmal von dort direkt die gegenüberliegende Ecke errechen, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine Weg über 4 Kanten bei \((2/9)^2\).
Setzt man das Spielchen fort, kommt man auf eine geometrische Reihe. Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit die gegenüberliegende Ecke zu erreichen, so ist$$p = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac29\right)^k= \frac{\frac29}{1-\frac29} = \frac{2}{9-2} = \frac27$$Gruß Werner
