Warum es nicht im Allgemeinen gilt, siehst am obigen Gegenbeispiel. Du kannst dir das auch gerne mal allgemeiner hinschreiben:
\(z=a+i\cdot b,\quad w=c+i\cdot d, \quad a,b,c,d\in \mathbb{R}\). Dann ist:
$$ z\cdot w=a\cdot c-b\cdot d+i\cdot (a\cdot d+b\cdot c) \quad \Rightarrow \quad \text{Re}(z\cdot w)=a\cdot c-b\cdot d $$
$$ \text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)=a\cdot c $$
Und jetzt suchst du Werte \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\), sodass die Gleichheit
$$ \text{Re}(z\cdot w)=a\cdot c-b\cdot d=a\cdot c=\text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w) $$
nicht erfüllt ist. Es ist \(a\cdot c-b\cdot d=a\cdot c\), bzw. \(b\cdot d=0\). Wähle also \(b,d\in \mathbb{R}\), sodass \(b\cdot d\neq 0\) gilt. Damit ist \(\text{Re}(z\cdot w)\neq \text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)\).
