4x* \sqrt{2x^2-1} integrieren

Question

4x*\( \sqrt{2x^2-1} \)

Ansatz: partielle Integration: ich habe festgelegt, dass 4x=v' und  \( \sqrt{2x^2-1} \) = u

für die partielle Integration gilt ja: (u*v) - u' * v

da v'=4x ist v=2x²

da u= \( \sqrt{2x^2-1} \) habe ich u' = \( \frac{1}{2} \) ( 2x²-1)^-1/2 *4x
dann habe ich noch die Teile zusammengefügt: \( \sqrt{2x^2-1} \) * 2x² - \( \frac{1}{2} \)(2x² -1)^-1/2  *4x*2x²

die Lösung müsste aber ( 2(2x²-1)^3/2 ) / 3 sein

wo habe ich einen Fehler gemacht?

Comments

wo habe ich einen Fehler gemacht?

Hier :  u' = \( \frac{1}{2} \) ( 2x²-1)^-1/2

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achso da habe ich eigentlich noch *4x stehen, ist in der Endlösung schon da, oder würde die Ableitung auch mit "* 4x" am Ende nicht stimmen?

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Dann verbessere   (u*v) - u' * v   noch zu   (u*v) - ∫u' * v

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hier mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Möchtest du die Funktion$$f(x)=4x\cdot\sqrt{2x^2-1}$$wirklich partiell integrieren? Ist das in der Aufgabenstellung so vorgegeben? Ich frage, weil \(4x\) ist die Ableitung von \((2x^2-1)\) ist, sodass die Funktion um Substitution bettelt.

In Kurzform (Physiker-Schreibweise):$$\int 4x\sqrt{2x^2-1}\,dx=\int(2x^2-1)^{1/2}\,\underbrace{d(2x^2-1)}_{=4x\,dx}=\frac23(2x^2-1)^{3/2}+\text{const}$$In Langform (Mathematiker-Schreibweise) substitutieren wir:$$u(x)\coloneqq2x^2-1\quad;\quad\frac{du}{dx}=4x\implies dx=\frac{du}{4x}$$$$\int4x\sqrt{2x^2-1}\,dx=\int 4x\sqrt{u}\,\frac{du}{4x}=\int\sqrt u\,du=\frac23u^{3/2}+\text{const}=\frac23(2x^2-1)^{3/2}+\text{const}$$

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vorgegeben war es nicht, ich dachte nur, dass es sinnvoll ist, weil ich ein Produkt habe. Danke :)