Kleinste Entfernung von einem Punkt zu anderen Punkten berechnen..?

Question

Die Punkte A (1|1|-2), B (3|0|0), C (-2|3|-3) und D (0|3|3) liegen in der Ebene E: 3x1 + 4x2 - x3 =9. Bestimmen Sie unter den Punkten A, B, C und D denjenigen Punkt, der vom Punkt P (1|7|-4) die kleinste Entfernung hat. - Kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären?  :-)

Answer 1

Nun, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann brauchst du einfach nur die Abstände
AP , BP , CP , DP

zu berechnen, also:

| P - A | , | P - B | ,|  P - C | und | P - D |

und schauen, welcher dieser vier Beträge am kleinsten ist ...

EDIT: Hier die Berechnungen:

$$\left| P-A \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| =\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 0 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } =\sqrt { 40 }$$$$\left| P-B \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| =\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+7^{ 2 }+{ (-4) }^{ 2 } } =\sqrt { 69 }$$$$\left| P-C \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \right| =\left| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+4^{ 2 }+{ (-1) }^{ 2 } } =\sqrt { 26 }$$$$\left| P-D \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \right| =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ (-7) }^{ 2 } } =\sqrt { 66 }$$

Der Abstand des Punktes P vom Punkt C ist also der kürzeste der Abstände des Punktes P von den Punkten A, B, C, D.

Comments

Danke für deine Hilfe aber wozu ist in dieser Aufgabe die Ebene gegeben, hat die mit der Rechnung nichts zu tun? Wir machen grad im Unterricht die Hesse'sche Normalenform, hat das vielleicht etwas damit zu tun? Könntest du mir das vielleicht mal kurz vorrechnen wie du das denkst? :-)

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Tja, wozu man diese Ebene braucht, ist mir auch nicht klar.

Hast du die Aufgabenstellung richtig wiedergegeben?
Gibt es vielleicht noch weitere Teilaufgaben, bei denen die Ebene relevant werden könnte?

Ich werde die Berechnungen in meine Antwort schreiben, da man das dort besser lesen kann als hier.

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Also das ist die komplette Aufgabe, da gab es leider keine Teilaufgaben.

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Nun, dann dient sie vielleicht einfach nur der Verwirrung?

Ich halte meine Antwort jedenfalls für die korrekte Lösung der gestellten Aufgabe.

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Okay, trotzdem vielen Dank, du hast mir sehr geholfen! :-)

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Sehr gern geschehen!

Und falls du noch andere Informationen zu dieser Aufgabe erhalten solltest, würde ich mich freuen ,wenn du diese hier kurz hinschreiben würdest.