Verhalten für große x und nahe der y-Achse

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Betrachten Sie die Funktion mit der Gleichung \( h(x)=\left(x^{2}-2\right) \cdot e^{-0,5 x} \). Lassen Sie sich den Graphen der Funktion vom CAS anzeigen. Beschreiben Sie und begründen Sie anhand der Funktionsgleichung
a. das Verhalten für große \( x \) und
b. das Verhalten nahe der \( y \)-Achse.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie ich in dieser Aufgabe vorgehen soll. Es wäre nett wenn einer mir einen genauen Lösungsweg schildern könnte.

Vielen Dank

Comments

Da steht, Du sollst betrachten und anzeigen lassen.

Das kannst Du nur selber machen. Wenn ich betrachte und anzeigen lasse, hast Du nichts davon.

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h(x) = (x^2-2)/e^(0,5x)

e^x wächst schneller als x^2.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-2%29*e%5E%28-0.5x%29

Answer 1

Hallo,

Lassen Sie sich den Graphen der Funktion vom CAS anzeigen.

mache es einfach. Das sieht dann so aus:

https://www.desmos.com/calculator/ffbhlr6wcp

a. das Verhalten für große \( x \)

Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird - also der Graph zur linken Seite hin? Er wird anscheinend fast zu 0. Das \(e^{-0,5x}\) zieht die Funktion mehr hinunter als das \(x^2\) rauf.

b. das Verhalten nahe der \( y \)-Achse

da habe ich Dir eine gestrichelte Gerade eingezeichnet. Kannst Du diese erklären? Ableitungen müsst Ihr schon durchgenommen haben - oder? Wenn Du auf das Desmossymbol rechts unten im Bild klickst, öffnet sich der Graphikrechner von Desmos und links in der Spalte kannst Du noch zwei weitere Graphen aktivieren, die Dir vielleicht weiter helfen.

Frage bitte nach, wenn irgendwas unklar ist.

Gruß Werner

Comments

Ableitungen hatten wir schon.

Inwiefern soll ich jetzt die gestrichelte Gerade erklären ?

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Ableitungen hatten wir schon.

sehr schön, dann bilde doch mal die Ableitung von \(h(x)\) an der Stelle \(x=0\) (x=0 ist nahe der Y-Achse). Und dann versuche heraus zu bekommen, wie die Gleichung \(g(x)\) der Geraden heißt, für die gilt$$g(0)=h(0), \quad g'(0)=h'(0)$$an der Stelle \(x=0\) verhält sich dann diese Gerade wie die Funktion \(h(x)\).