Schätzer erwartungstreu, effizient und konsistent?

Question

Text erkannt:

a) Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige mathematische Stichproben vom Umfang \( n \) der Grundgesamtheit \( X \). Zeigen Sie, dass \( Y_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} X_{i} \) für beliebige Werte \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{R} \) mit \( \lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}=1 \) einen erwartungstreuen Schätzer für \( \mathbb{E}[X] \) darstellt.
b) Zeigen Sie, dass unter den möglichen Schätzern \( Y_{n} \) derjenige mit \( \lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}= \) \( 1 / n \), also das Stichprobenmittel, höchstmögliche Effizienz besitzt. Verwenden Sie ohne Beweis, dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2} \geq 1 / n \) gilt.
c) Angenommen es gilt \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2} \rightarrow 0 \), falls \( n \rightarrow \infty \). Zeigen Sie unter dieser Voraussetzung, dass \( Y_{n} \) dann ein konsistenter Schätzer für den Parameter \( \mathbb{E}[X] \) ist.

unszwar brauche ich hier Hilfe,Aufgabe a,b,c ich verstehe nicht

Answer 1

Zu (a)

$$ E(Y_n) = \sum_{i=1}^n \lambda_i E(X_i) = E(X) \sum_{i=1}^n \lambda_i = E(X) $$

Zu (b)

$$ 1 = \left(  \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)^2  \le \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \sigma_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2} \right) $$ Also gilt $$ \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \sigma_i^2 \ge \frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}} $$ wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

$$ \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \sigma_i^2 $$ nimmt das Minimum an, wenn gilt

$$ \lambda_i \sigma_i = \frac{\alpha }{\sigma_i} $$ (ebenfalls Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

Wegen $$ \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 $$ folgt $$ \alpha = \frac{1}{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2} } $$ also

$$ \lambda_i = \frac{ \frac{1}{\sigma_i^2} } {\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2 } } $$

In unserem Fall gilt \( \sigma_i = \sigma \) für alle \( i = 1 ... n \) also $$ \lambda_i = \frac{1}{n} $$

Comments

warumist ?und daunter ich verstehe nicht ,können sie einfach erklären?

Text erkannt:

\( \lambda_{i} \sigma_{i}=\frac{\alpha}{\sigma_{i}} \)

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Schau dir die Bedingungen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung an. Das Minimum wird bei linearer Abhängigkeit angenommen.