Aloha :)
Zum Beweis der Linearität hast du im Prinzip zwei Möglichkeiten.
(1) Du zeigst die Additivität und die Homogenität der Abbidlungsvorschrift:$$f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\quad;\quad f(c\cdot\vec x)=c\cdot f(\vec x)\quad\quad c\in\mathbb K\;;\;\vec x\in \mathbb K^n$$
(2) Du gibts eine Abbiildungsmatrix an.
Da die Abbildungsvorschriften im Vektorformat vorliegen, sollte (2) hier der Weg sein.
Die erste, dritte und vierte Abbidlung sind linear:$$\varphi_1:\quad \binom{x_1}{x_2}\mapsto x_1=1\cdot x_1+0\cdot x_2=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}$$$$\varphi_3:\quad \binom{x_1}{x_2}\mapsto\binom{2x_1+x_2}{x_1-x_2}=\binom{2}{1}x_1+\binom{1}{-1}x_2=\left(\begin{array}{rr}2 & 1\\1 & -1\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}$$$$\varphi_4:\quad \binom{x_1}{x_2}\mapsto\binom{ax_1+cx_2}{bx_1-dx_2}=\binom{a}{b}x_1+\binom{c}{-d}x_2=\left(\begin{array}{rr}a & c\\b & -d\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}$$
Die zweite Abbildung ist nicht linear, denn die Additivität ist verletzt. Einerseits gilt nämlich$$\varphi_2\binom{1}{0}=\binom{0}{1}\quad;\quad\varphi_2\binom{-1}{0}=\binom{0}{1}\quad\implies\quad\varphi_2\binom{1}{0}+\varphi_2\binom{-1}{0}=\binom{0}{2}$$und andererseits git:$$\varphi_2\left(\,\binom{1}{0}+\binom{-1}{0}\,\right)=\varphi_2\binom{0}{0}=\binom{0}{0}\ne\binom{0}{2}=\varphi_2\binom{1}{0}+\varphi_2\binom{-1}{0}$$
