Du kannst eine Hexadezimalzahl ganz einfach in ihre Binärdarstellung überführen, indem du jede Stelle der Hexadezimalzahl als Binärzahl darstellst und dann einfach alles zusammenfügst.
\(\begin{aligned} (\mathrm{ABAB})_{16}=(\underbrace{\mathrm{A}}_{1010} \underbrace{\mathrm{B}}_{1011} \underbrace{\mathrm{A}}_{1010} \underbrace{\mathrm{B}}_{1011})_{16}=(1010\space1011\space1010\space1011)_{2} .\end{aligned} \)
Warum funktioniert das?
Die Frage lässt sich recht einfach beantworten:
\(\begin{aligned} X_{16}=\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} 16^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i}\left(2^{4}\right)^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{3} x_{i, k} 2^{k}\right)\left(2^{4}\right)^{i}=\sum \limits_{i=0}^{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{3} x_{i, k} 2^{4 i+k}\right) .\end{aligned} \)
Hier ist \(\begin{aligned}\left(\sum \limits_{k=0}^{3} x_{i, k} 2^{k}\right)\end{aligned}\) die Binärexpansion des \(i\)ten Koeffizienten der Zahl \(X\), wobei natürlich \(0\le x_i\le 15\) gilt.
