Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl

Question

Aufgabe: Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl

Wie bestimme ich die Länge und Zahlenfolge der Periode, wenn ich einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandle.

Problem/Ansatz:

bei 1/3 =0,333

1/9= 0,1111  ist die Länge 1

1/99= 0,010101 ist die Länge 2

Doch wie lang ist sie Beispielsweise bei

10/49≈0.204081632653061224489795918367346938

auch dort muss es ja eine Periode geben

und wie ist die Zahlenfolge.

Answer 1

Ich kenne nur den sicheren Weg über die schriftliche Division.

Das p leitet bei mir die Periode ein.

10 : 49 = 0,p204081632653061224489795918367346938775510  

-0
——
100        Periodenlänge: 42
-98
———
  20
  -0
  ——
  200
-196
  ———
    40
    -0
    ——
    400
  -392
    ———
      80
    -49
      ——
      310
    -294
      ———
      160
      -147
      ———
        130
        -98
        ———
        320
        -294
        ———
          260
        -245
          ———
          150
          -147
          ———
            30
            -0
            ——
            300
            -294
            ———
              60
              -49
              ——
              110
              -98
              ———
                120
                -98
                ———
                220
                -196
                ———
                  240
                -196
                  ———
                  440
                  -392
                  ———
                    480
                  -441
                    ———
                    390
                    -343
                    ———
                      470
                    -441
                      ———
                      290
                      -245
                      ———
                        450
                      -441
                        ———
                          90
                        -49
                          ——
                          410
                        -392
                          ———
                          180
                          -147
                          ———
                            330
                          -294
                            ———
                            360
                            -343
                            ———
                              170
                            -147
                              ———
                              230
                              -196
                              ———
                                340
                              -294
                                ———
                                460
                                -441
                                ———
                                  190
                                -147
                                  ———
                                  430
                                  -392
                                  ———
                                    380
                                  -343
                                    ———
                                    370
                                    -343
                                    ———
                                      270
                                    -245
                                      ———
                                      250
                                      -245
                                      ———
                                        50
                                        -49
                                        ——
                                          10
                                          -0
                                          ——
                                          10

Comments

Wow, danke. Aber eine allgemeine Theorie ist Dir nicht bekannt?

Bei 1/7 ist die Periodenlänge 6

hie 42

42=6*7 ist das ein Zufall oder steckt dahinter eine Gesetzmäßigkeit?

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... oder steckt dahinter eine Gesetzmäßigkeit?

die Periodenlänge eines Divisors \(b\) hat was mit \(\varphi(q)\) zu tun. Wobei \(q\) das mit 2 und 5 gekürzte \(b\) ist. Siehe hier im Kapitel 4.2.9

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Vielen Dank dafür. Jetzt habe ich erstmal was zum lesen.

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Danke Jetzt passt alles zusammen.

φ(7)=6

φ(7^2)=42

Der Zähler hat keinen Einfluss auf die Länge der Periode, ebenso wenig wie die Primfaktoren 2 und 5 im Nenner.

Answer 2

$$\dfrac{10}{49} = \\[10pt] \dfrac{10 \cdot 20408163265306122448979591836734693877551}{49 \cdot 20408163265306122448979591836734693877551} = \\[10pt] \dfrac{204081632653061224489795918367346938775510}{999999999999999999999999999999999999999999} = \\[10pt] 0.\overline{204081632653061224489795918367346938775510}$$

Comments

Die Periode lässt sich als \(10\cdot \left(10^{\varphi(49)}-1\right):\,49\) schreiben.

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Danke , mit Deiner Hilfe und der Hilfe vom Coach und Werners Lektüretipp habe ich heute viel dazugelernt.