a) Sei \(f(x) = \mathrm{e}^{2x}-2 - x^{2021}\).
Dann ist \(f(0) < 0\) und \(f(1) > 0\).
Weil f auf \([0,1]\) stetig ist, gibt es aufgrund des Zwischenwertsatzes ein \(\xi\in (0,1)\) mit \(f(\xi)=0\).
b) \(f\) ist streng monoton steigend, weil \(f(x) > 0\) für jedes \(x \in \mathbb{R}\) ist (Monotoniesatz).
\(f\) ist stetig weil \(f\) eine Polynomfunktion ist und Polynomfunktionen stetig sind.
\(f\) ist surjektiv, weil \(f\) stetig ist und \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty\) ist.