Zeigen, dass die Gleichung eine Lösung hat und Eigenschaften einer Funktion?

Question

Guten Abend,
ich muss morgen eine Leistung erbringen, verstehe jedoch eine Übung garnicht und bin schon am verzweifeln.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Zu der a) habe ich garkeinen eigenen Ansatz...

b) :
Für den Beweis der strengen Monotonie habe ich die 1.Ableitung bestimmt: 2021 * x²⁰²⁰+ 1
Wie zeige ich jetzt damit aber die Monotonie?

Für den Beweis der Stetigkeit habe ich es mir so gedacht, dass man den rechts- und linksseitigen Limes bezüglich x=0   betrachtet. Also: lim(x -> 0+) x²⁰²¹ + x = 0 und lim(x -> 0-) x²⁰²¹ + x = 0.
Wie zeigt man das aber für den gesamten Definitionsbereich?

Zur Surjektivität habe ich leider keine Ahnung, da mein Versuch y = x^2021 + 1 nach x ,umzustellen, nicht funktioniert hat.


Für Hilfe bin ich sehr dankbar.

Comments

ich muss morgen eine Leistung erbringen
Warum stellst du solche Fragen nicht 1 Tag
früher ?

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ich muss morgen eine Leistung erbringen
Warum stellst du solche Fragen nicht 1 Tag
früher ?

Weil es dann mit "übermorgen" einen längeren Text gebraucht hätte.

Answer 1

a) Sei \(f(x) = \mathrm{e}^{2x}-2 - x^{2021}\).

Dann ist \(f(0) < 0\) und \(f(1) > 0\).

Weil f auf \([0,1]\) stetig ist, gibt es aufgrund des Zwischenwertsatzes ein \(\xi\in (0,1)\) mit \(f(\xi)=0\).

b) \(f\) ist streng monoton steigend, weil \(f(x) > 0\) für jedes \(x \in \mathbb{R}\) ist (Monotoniesatz).

\(f\) ist stetig weil \(f\) eine Polynomfunktion ist und Polynomfunktionen stetig sind.

\(f\) ist surjektiv, weil \(f\) stetig ist und \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty\) ist.