LGS gauschen Zahlen mit Unterring

Question

Aufgabe:

Betrachte den Unterring
ℤ[ i]

der ganzen Gaußschen Zahlen von

ℂ. Wir betrachten ein Gleichungssystem

(∗) Ax = 0 (x ∈ ℂⁿ)

mit A ∈ ℤ[i]^m×n

Problem/Ansatz:

Zeige: Wenn (∗) eine Lösung x ∈ ℂⁿ \ {0} hat, dann hat (∗) auch eine Lösung

x ∈ ℚ[i]ⁿ \{0}

Wie können wir diese Aufgabe Lösen? Wir haben leider keine Ansätze.

(Seien i die imaginären Zahlen)

Answer 1

Jede Lösung der Gleichung

        Ax = 0

über ℂ hat die Form

        x = (z₁/d₁ ... z_n/d_n)^T

mit z_j ∈ ℤ[i]^m×n und d_j ∈ ℤ[i]^m×n für j ∈ {1, ..., n}. Das liegt daran, dass zur Bestimmung der Lösung elementare Zeilenumformungen ausreichen.

Die Gleichung

        Ax = 0

ist eine homogene lineare Gleichung. Also ist jedes Vielfache einer Lösung ebenfalls eine Lösung.

Multipliziert man die Lösung

        (z₁/d₁ ... z_n/d_n)^T

mit ∏_j=1..n d_j, dann bekommt man eine Lösung aus ℤ[i]ⁿ.

(Seien i die imaginären Zahlen)

i sind nicht die imaginären Zahlen. i ist die imaginäre Einheit.