Hallo,
Man zeige, dass die Lösung im Intervall [0, ln 2] eindeutig bestimmt ist:
Das wird z.B.über den Eindeutigkeitssatz im Quader nachgewiesen: (Satz von Picard und Lindelöf)
\( Q:=[a, b] \times[c, d] \)
Es ist a < 0 < b < ln 2 und 0 < c <1/4< d
Es wird die Nullstelle berechnet:
\( 0=\left(e^{-x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \Rightarrow e^{-x}=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\ln 2 \)
Für \( x \in[0, \ln 2[ \) gilt also \( y(x)>0 \).
Deswegen ist \( f_{y}(x, y)=-2-\frac{1}{2 \sqrt{y}} \) stetig in \( Q \), dort gilt \( y>0 \).
-----> Die Lösung \( y(x) \) ist eindeutig bestimmt im Intervall \( [0, ln2] \)