Berechne eine Lösung der Anfangswertaufgabe y'+2y+√(y)=0 mit y(0)=\frac{1}{4}

Question

Aufgabe:

Berechne eine Lösung der Anfangswertaufgabe \(y'+2y+\sqrt{y}=0 \) mit \(y(0)=\frac{1}{4}\)

Man zeige, dass die Lösung im Intervall [0, ln 2] eindeutig bestimmt ist und dass die Lösung im Intervall [0,b] mit b > ln 2 nicht mehr eindeutig bestimmt ist und gebe eine zweite Lösung an

Problem/Ansatz:

Also die Lösung habe ich herausgefunden: \(y(x) = \frac{1}{2}*e^{-2x}-\frac{1}{4}\) aber ich weiß nicht, wie der Beweis ausschauen muss.

Comments

Also die Lösung habe ich herausgefunden: \(y(x) = \frac{1}{2}*e^{-2x}-\frac{1}{4}\)

Dann wird man sich mit dem Term \(\sqrt y\) schwer tun. Richtig wäre z.B.: $$y(x) = \frac 14e^{-2x}\left(e^x-2\right)^2$$

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Stimmt, sorry meinte \(y(x)=(e^{-x}-\frac{1}{2})^2\)

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Könntest du mir mit dem Beweis helfen?

Answer 1

Hallo,

Man zeige, dass die Lösung im Intervall [0, ln 2] eindeutig bestimmt ist:

Das wird z.B.über den Eindeutigkeitssatz im Quader nachgewiesen: (Satz von Picard und Lindelöf)

\( Q:=[a, b] \times[c, d] \)

Es ist a < 0 < b < ln 2 und 0 < c <1/4< d

Es wird die Nullstelle berechnet:

\( 0=\left(e^{-x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \Rightarrow e^{-x}=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\ln 2 \)

Für \( x \in[0, \ln 2[ \) gilt also \( y(x)>0 \).

Deswegen ist \( f_{y}(x, y)=-2-\frac{1}{2 \sqrt{y}} \) stetig in \( Q \), dort gilt \( y>0 \).

-----> Die Lösung \( y(x) \) ist eindeutig bestimmt im Intervall \( [0, ln2] \) 

Answer 2

Aloha :)

$$\left.y'+2y+\sqrt y=0\quad\right|-y'$$$$\left.2y+\sqrt y=-y'\quad\right|y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.2y+\sqrt y=-\frac{dy}{dx}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{1}{2y+\sqrt y}=-\frac{dx}{dy}\quad\right|\cdot dy$$$$\left.\frac{dy}{2y+\sqrt y}=-dx\quad\right|\text{beide Seiten integrieren}$$Die linke Seite integrieren wir mit Substitution:$$y\coloneqq u^2\quad;\quad\frac{dy}{du}=2u\implies dy=2u\,du$$$$\int\frac{dy}{2y+\sqrt y}=\int\frac{2u\,du}{2u^2+\sqrt{u^2}}=\int\frac{2u\,du}{2u\left(u+\frac12\right)}=\int\frac{du}{u+\frac12}=\ln\left|u+\frac12\right|=\ln\left|\sqrt y+\frac12\right|$$Die rechte Seite ist schnell integriert:$$\left.\ln\left|\sqrt y+\frac12\right|=-x+c\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.\left|\sqrt y+\frac12\right|=e^{-x+c}\quad\right|e^{\cdots}>0\text{ daher Betrag weglassen}$$$$\left.\sqrt y+\frac12=e^{-x+c}\quad\right|-\frac12$$$$\left.\sqrt y=e^{-x+c}-\frac12\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.y=\left(e^{-x+c}-\frac12\right)^2\quad\right|(\cdots)^2$$Die Integrationskonstante \(c\) folgt aus der Anfangsbedingung \(y(0)=\frac14\)$$\frac14=y(0)=\left(e^{c}-\frac12\right)^2\implies e^c=1\implies c=0$$Damit lautet die Lösung:$$y(x)=\left(e^{-x}-\frac12\right)^2$$

Comments

Hallo Tschaka,

Damit lautet die Lösung: ...

das war der leichtere Teil, den der FS bereits gelöst hat (s. Kommentar oben). Die problematische Stelle liegt bei \(x=\ln(2)\). Dann nimmt nämlich \(y\) den Wert \(0\) an. Und für den Wert \(y=0\) gibt es die trivale zweite(!) Lösung $$y=0, \quad y'= -(2y+\sqrt y) = 0 \quad \forall x \ge \ln(2)$$Wie beweist man nun im ersten Teil bei \(x \lt \ln(2)\), dass die Lösung dort eindeutig bestimmt ist?

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Hallo,

für die Frage der Eindeutigkeit bis ln(2) kann man verwenden:

1. Den Satz von Picard-Lindelöf: Von der angegebenen Lösung kann lokal keine zweite abzweigen, solange y nicht 0 wird.

oder

2. Der Satz über die Lösung einer separablen Differentialgleichung liefert ebenfalls eine lokale Eindeutigkeitsaussage.

Allerdings habe ich Probleme mit der 2. Lösung. Eine Fortsetzung über den Punkt (ln(2),0) hinaus ist die Null-Funktion. Was ist die 2.? Die berechnete Lösung ist es nicht - wegen \(\sqrt{w^2}=|w|\). Oder habe ich mich verrechnet?

Gruß Mathhilf

Answer 3

Die DGL ist separabel: \(\) \(\frac{y'}{-\sqrt{y}-2y}=1\)