Sei A ∈ M3(R) die Matrix. Wie ist A invertierbar?

Question

Sei A ∈ M₃(R) die Matrix

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \)

1. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.
2. Geben Sie A⁻¹ an.

Matrizen sind nach wie vor ein großes Rätsel für mich.

Comments

Wenn du eine Inverse ausrechnen kannst, hast du damit gezeigt, dass es eine Inverse gibt.

Damit erübrigt sich 1. nach der Berechnung von Mathecoach.

Wenn dur nur prüfen musst, ob eine Matrix invertierbar ist, kannst du auch ihre Determinante ausrechnen.

Resultat ≠ 0 heisst : invertierbar.

Resultat = 0 heisst: nicht invertierbar.

Answer 1

[1, 2, 3, 1, 0, 0]
[4, 5, 6, 0, 1, 0]
[7, 8, 10, 0, 0, 1]

II' = 4*I - II
III' = 7*I - III

[1, 2, 3, 1, 0, 0]
[0, 3, 6, 4, -1, 0]
[0, 6, 11, 7, 0, -1]

III' = 2*II - III

[1, 2, 3, 1, 0, 0]
[0, 3, 6, 4, -1, 0]
[0, 0, 1, 1, -2, 1]

I' = I - 3*III
II' = II - 6*III

[1, 2, 0, -2, 6, -3]
[0, 3, 0, -2, 11, -6]
[0, 0, 1, 1, -2, 1]

I' = 3*I - 2*II

[3, 0, 0, -2, -4, 3]
[0, 3, 0, -2, 11, -6]
[0, 0, 1, 1, -2, 1]

Jetzt die erste und zweite noch durch 3 teilen und wir haben unsere Inverse

[-2/3, -4/3, 1]
[-2/3, 11/3, -2]
[1, -2, 1]

Fertig.

Comments

Super, danke Dir! Könntest du mir auch noch zeigen, wie ich A^-1 angebe?

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Du schreibst 

A^-1 = 

Und dahinter die Matrix

[-2/3, -4/3, 1]
[-2/3, 11/3, -2]
[1, -2, 1]

Nur in schöneren Klammern. Ich mache das hier ja immer Zeilenweise.