Aufgabe:
Es ist zu zeigen dass die Abbildungsmatrix S(a) der Spiegelung an g: y=ax sich wie folgt darstellen lässt:
S[a]=\( \frac{1}{1+a^{2}} \) \( \begin{pmatrix} 1-a^{2} & 2a \\ 2a & a^{2}-1 \end{pmatrix} \)
Die gesamte Abbildung ist s(x)=S[a]*\( \vec{x} \)
Problem:
2 Schritte sind mir nicht ganz klar:
Die gerade g: y=ax lässt sich als \( (1,a)^{T} \) darstelle, die senkrechte n darauf müsste doch dann \( (-a,1)^{T} \) sein, oder?
Laut Lösung ist es aber: \( \vec{n} \) = \( \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}} } \) * \( (-a,1)^{T} \). Warum der Vorfaktor?
Der Abstand von Punkt P zu d sei: d=d(P;g)
g: \( \vec{n} \)* (\( \vec{x} \) - \( \vec{0} \) ) = 0 -> n*x=0 Das sagt doch nur dass n senkrecht auf g steht oder? Aber warum ist der Abstand dann direkt d=(\( \vec{n} \) * \( \vec{x} \) )
\( \vec{0P⁻} \) = \( \vec{0P} \) + \( \vec{PP⁻} \) Da werden nur die Vektoren addiert, allerdings macht der nächste schritt nicht ganz so viel Sinn..
s(x)=\( \vec{0P} \) + \( \vec{PP⁻} \)
s(x)=\( \vec{x} \) - 2(\( \vec{n} \) * \( \vec{x} \) ) * \( \vec{n} \) Wie komm ich hier drauf dass d subtrahiert wird, und wieso wird es mit n am schluss nochmal multipiziert? Meine Lösung wäre s(x)= \( \vec{x} \) + 2(\( \vec{n} \) * \( \vec{x} \) )
Dankeschön für jede Erklärung
