Kurvendiskussion der Funktion f mit f(x)=x²-2x+2

Question

Hi,

wie soll man das Berechnen? Ich weiß, dass man die 1.Ableitung bilden muss, diese ist dann:

f'(x)=2x-2; waagrechte Tangente für f'(x=0 d.h für x₀=1 aber wieso 1?

Vielleicht deshlab
2x-2 = 0 |+2
2x    = 2 |:2
  x    = 1

Bitte nicht nur den Rechenweg schreiben, sondrern auch Erklären...

1) Definitionsmenge D
2) Symmetrie
3) Schnittpunkt mit den Koordinaten
4) Verhalten im Unendlichen
5) Monotonie und Extrmwerte (Extremwerte sind doch Hoch- und Tiefpunkte, oder?)
6) Krümmung und Wendepunkte

Wie berechne ich all diese Sachen=


 

Comments

Ja, Extrema sind Hoch- und Tiefpunkte.

Ja, die Tagente bei x=1  ist waagerecht, weil die Ableitung, die ja den Anstieg der Tangenten an dieser Stelle angibt, dort verschwindet.


Vielleicht hilft dir das hier ein wenig:

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_10.htm

Answer 1

Hi Emre,

1) Was darf eingesetzt werden: Alles -> D = ℝ

2) Untersuche f(-x) = f(x) bzw. f(-x) = -f(x). Geht beides nicht, also weder Punktsymmetrisch noch Achsenymmetrisch (bzgl. Ursprung bzw. y-Achse)


3) Mit x-Achse:

f(x) =  x^2-2x+2 = 0

--> gibt keine Nullstellen

Mit y-Achse: S(0|2)


4) Ist eine Parabel mit positivem Vorfaktor bei höchster Potenz: x->±∞: f(x) -> ∞


5) Genau. Extremwerte sind Tief-/Hochpunkte.

Du hast die erste Ableitung schon angegeben und herausgefunden an welcher Stelle x das ganze 0 ist. Nämlich bei x = 1. Das noch in die zweite Ableitung -> Tiefpunkt.

Nun damit in die eigentliche Funktion um den Tiefpunkt genau zu bestimmen: T(1|1)


Monotonie: fallen - (-∞;1); steigend: (1;∞)


6) Gibt keine Wendepunkte.

f''(x) = 2 > 0--> Linkskrümmung.


Grüße

Comments

Hallo Unknown :) Danke für die Hilfe! hat mir wie immer weiter geholfen :)

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Ah ich hab aber eine kleine Frage wenns geht: Also diese Unendlich verstehe ich nicht?? woher weiß man das? Ist das bei jeder aufgabe IMMER so? :)

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Stell Dir für Unendlich einfach eine große Zahl vor. Setze zum Beispiel in die Funktion x = 10.000 ein und schaue was passiert. Daraus kann man ableiten wie sich f(x) dann im Unendlichen verhält.


Das Einsetzen ist mit einer gewissen Erfahrung dann bald unnötig. Man weiß wie eine Parabel aussieht (es gibt zwei "Äste" die in die gleiche Richtung schauen und zwar gegen Unendlich. Bleibt nur die Entscheidung bzgl Vorzeichen :)).

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Ahhh ok :)) danke danke für deine Hilfe!!!!! :)

Answer 2

1) Definitionsmenge D

 

Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen die man in die Funktion für x einsetzen darf. Mathematisch darf man bei Ganzrationalen Funktionen alles einsetzen also gilt

 

D = R

 

2) Symmetrie

 

Achsensymmetrie, wenn alle Exponenten gerade sind. Punktsymmetrie, wenn alle Exponenten ungerade sind. Im vorliegenden Fall haben wir keine dieser untersuchten Symmetrien.

 

3) Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

 

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0^2 - 2·0 + 2 = 2

 

Nullstellen f(x) = 0

x^2 - 2·x + 2 = 0

Keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

 

4) Verhalten im Unendlichen

 

Wir haben eine nach oben geöffnete Parabel, also

 

lim (x → -∞) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

 

5) Monotonie und Extremwerte

 

Eine nach oben geöffnete Parabel hat einen Tiefpunkt.

 

Sx = - b/(2·a) = - (-2)/(2·(1)) = 1

Sy = f(1) = 1^2 - 2·1 + 2 = 1

 

6) Krümmung und Wendepunkte

 

Eine nach oben geöffnete Parabel ist immer linksgekrümmt also konvex.

Comments

Ich habe diese Kurvendiskussion OHNE die Ableitung mit reinen Mitteln der Sekundarstufe gemacht, damit sie auch für Schüler nachvollziehbar ist, die noch keine Ableitungen haben.

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Hallo Mathecoach auch danke für deine Hilfe! Hat mir auch weiter geholfen! Kannst es in Zukunft wenn ich weitere Fragen dazau habe auch mit Ableitung machen ...ich kanns eigentlichj naja nen bissl ^^