Ist die Multiplikation (a1,a2)⊙(b1,b2):=(a1⋅b1,a2⋅b2) eine Multiplikation auf den Äquivalenzklassen

Question

Aufgabe:

Es ist auf Z×N die folgende Relation definiert und steht fest, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt:
(a1,a2)≡(b1,b2):⇔a1⋅b2=a2⋅b1
für (a1,a2),(b1,b2)∈Z×N.

1) Zeigen Sie, dass die Multiplikation (a1,a2)⊙(b1,b2):=(a1⋅b1,a2⋅b2) eine Multiplikation auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≡
definiert, weil sie unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen.
2) Zeigen Sie, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist.

Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen? :)

Answer 1

unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen.
Das heißt doch: wenn (a1,a2)≡(b1,b2)  und  (c1,c2)≡(d1,d2)

Dann gibt   (a1,a2)⊙(c1,c2) die gleiche Klasse wie (b1,b2)⊙(d1,d2).

Das kann man nachrechnen:

(a1,a2)⊙(c1,c2) = (a1⋅c1,a2⋅c2)   und

(b1,b2)⊙(d1,d2)=(b1⋅d1,b2⋅d2)

Ob die Klassen gleich sind, entscheidet sich dadurch, ob gilt

(a1⋅c1,a2⋅c2)  ≡ (b1⋅d1,b2⋅d2).

Das wiederum bedeutet nach der Def.

a1⋅c1⋅b2⋅d2 = a2⋅c2⋅b1⋅d1.  #

Nach der Vor. (a1,a2)≡(b1,b2)  und (c1,c2)≡(d1,d2)

hat man ja  a1⋅b2 = a2⋅b1   und  c1⋅d2 = c2⋅d1.

Jeweils die linken und rechten Seiten multipliziert

gibt dann natürlich auch gleiche Produkte, also # erfüllt.

Für 2 wende einfach die Def. von ⊙ an und danach die

entsprechenden Gesetze der Def. in (ℤ, . ).

Comments

Danke,

wie würde das dann aussehen, wenn man zeigen soll, dass die Addition (a1,a2)⊕(b1,b2):=(a1⋅b2+b1⋅a2,a2⋅b2) eine Addition auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≡ definiert, weil sie unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen, ist?

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Habe ich doch oben ausgeführt:

Du zeigst, dass die "Multiplikation" zweier verschiedener

Repräsentanten aus den beiden Klassen,

also (a1,a2)⊙(c1,c2)  und (b1,b2)⊙(d1,d2)

zu der gleichen Klasse als Ergebnis führt,

dass also die beiden Ergebnisse

(a1⋅c1,a2⋅c2)   und  (b1⋅d1,b2⋅d2)

äquivalent sind, dass also gilt

(a1⋅c1,a2⋅c2)  ≡ (b1⋅d1,b2⋅d2).

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Das habe ich auch verastanden. Meine Frage hat sich auf die Addition bezogen. Also wie würde es da gehen, wenn die Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Addition (a1,a2)⊕(b1,b2):=(a1⋅b2+b1⋅a2,a2⋅b2) eine Addition auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≡ definiert, weil sie unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen

heißt?

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Das geht analog.

Du wählst wieder verschiedene Vertreter der Klassen

und bildest (a1,a2)⊕(c1,c2)  und (b1,b2)⊕(d1,d2)

und musst wieder zeigen, dass die Ergebnisse

äquivalent sind.