$$Sei\quad L\quad die\quad Langrangefunktion\quad zu\quad F\quad und\quad der\quad angegebenen\quad Nebenbedingung:\\ \\ L(x_{ 1 },{ x }_{ 2 },\lambda )\quad =\quad F({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\quad +\quad \lambda g({ x }_{ 1 }{ ,x }_{ 2 })\quad =\quad 51{ x }_{ 1 }\quad +\quad { 22 }x_{ 2 }\quad +\quad { \lambda (x }_{ 1 }²\quad +\quad { x }_{ 2 }²\quad -\quad 49)\quad \\ \\ \\ (0,0)\quad kommt\quad als\quad Extremum\quad aufgrund\quad der\quad Nebenbedingung\quad \\ nicht\quad in\quad Frage.$$
$$ { D }_{ 1 }L(x_{ 1 },{ x }_{ 2 },\lambda )\quad =\quad 51\quad +\quad 2\lambda { x }_{ 1 }\\ \\ { D }_{ 2 }L(x_{ 1 },{ x }_{ 2 },\lambda )\quad =\quad 22\quad +\quad 2\lambda { x }_{ 2 }\quad \quad \\ \\ { D }_{ 3 }L(x_{ 1 },{ x }_{ 2 },\lambda )\quad =\quad { x }_{ 1 }²\quad +\quad { x }_{ 2 }²\quad -\quad 49\quad $$
$$part.\quad Ableitungen\quad { D }_{ 1 },\quad { D }_{ 2 },\quad { D }_{ 3 }\quad von\quad L\quad Null\quad setzen:\\ \\ *\quad 51\quad +\quad 2\lambda { x }_{ 1 }\quad =\quad 0\quad \\ \Leftrightarrow \quad { x }_{ 1 }\quad =\quad -\frac { 51 }{ 2\lambda } \quad \quad \quad |\quad \lambda \quad \neq \quad 0\\ \\ **\quad 22\quad +\quad 2\lambda { x }_{ 2 }\quad =\quad 0\quad \\ \Leftrightarrow \quad { x }_{ 2 }\quad =\quad -\frac { 22 }{ 2\lambda } \quad \quad \quad |\quad \quad \lambda \quad \neq \quad 0\\ \\ ***\quad { x }_{ 1 }²\quad +\quad { x }_{ 2 }²\quad -\quad 49\quad =\quad 0\quad ,\quad { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }\quad einsetzen\quad :\\ \\ { \left( \frac { 51 }{ 2\lambda } \right) }^{ 2 }\quad +\quad { \left( \frac { 22 }{ 2\lambda } \right) }^{ 2 }\quad +\quad 49\quad =\quad 0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda \quad =\quad \pm \quad \frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } \\ \\ $$
$$Einsetzen\quad von\quad +\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } \quad in\quad *\quad UND\quad **\quad :\\ \\ { x }_{ 1 }\quad =\quad -\frac { 51 }{ 2\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } } \quad \approx \quad -6,4275\quad ,\quad { x }_{ 2 }\quad =\quad -\frac { 22 }{ 2\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } } \quad \approx \quad -2,7726\\ \\ Einsetzen\quad von\quad -\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } \quad in\quad *\quad UND\quad **:\\ \\ { x }_{ 1 }\quad =\quad -\frac { 51 }{ 2\left( -\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } \right) } \quad \approx \quad 6,4275,\quad { x }_{ 2 }\quad =\quad -\frac { 22 }{ 2\left( -\frac { \sqrt { 3085 } }{ 14 } \right) } \quad \approx \quad 2,7726\\ \\ $$
$$Die\quad möglichen\quad Extremstellen\quad sind\quad also\quad (-6,4275\quad ,\quad -2,7726)\quad und\quad (6,4275\quad ,\quad 2,7726).\\ \\ \\ Den\quad kleineren\quad Wert\quad in\quad F\quad nimmt\quad an:\\ \\ F(-6,4275\quad ,\quad -2,7726)\quad also\quad ist\quad { b }_{ 1 }\quad =\quad -6,4275\quad ,\quad { b }_{ 2 }\quad =\quad -2,7726\\ \\ (b)\quad F({ b }_{ 1 }\quad ,\quad { b }_{ 2 })\quad =\quad -388,80\\ \\ (c)\quad \left| { b }_{ 2 } \right| \quad \neq \quad 1,39\\ \\ (d)\quad Lagrange-Multiplikator\quad \lambda \quad ist\quad gerundet\quad auf\quad zwei\quad Stellen\quad n.\quad d.\quad Komma\quad \pm \quad 3,97\quad \\ also\quad \lambda \quad \neq \quad \left| 5,96 \right| \\ \\ (e)\quad \left| { a }_{ 1 } \right| \quad =\quad 6,43\quad (aufgerundet\quad von\quad 6,4275)\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \quad \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ $$
