Gegeben sei die Matrix

Question

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1) Gegeben sei die Matrix \( A=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ a & 0 & a\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) mit \( a \in \mathbb{R} \).
(a) Berechnen Sie \( \operatorname{det}(A) \) in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \) und zeigen Sie, dass für beliebige \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1, a \in \mathbb{R} \) gilt:
\( \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=a^{3-n} . \)
(b) Untersuchen Sie, für welche \( a \in \mathbb{R} \) die inverse Matrix \( A^{-1} \) der Matrix \( A \) existiert und bestimmen Sie im Falle der Existenz die inverse Matrix \( A^{-1} \) in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \).
(c) Ermitteln Sie die Eigenwerte der Matrix \( A \) in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \).

Answer 1

(a) Berechnen Sie \( \operatorname{det}(A) \).

Tu es doch.

zeigen Sie, dass für beliebige \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1, a \in \mathbb{R} \) gilt:\( \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=a^{3-n} . \)

Wie wäre es mit vollständiger Induktion?

(b) Untersuchen Sie, für welche \( a \in \mathbb{R} \) die inverse Matrix \( A^{-1} \) der Matrix \( A \) existiert

Finde heraus, für welche a die Determinante nicht 0 ist.