Lineare Abbildung - bestimmen Sie bijektiv, injektiv

Question

Text erkannt:

5) Gegeben sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto A x \), wobei
\( A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & \alpha \end{array}\right) \)
(a) Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \), für die \( f \) bijektiv ist.
(b) Geben Sie alle \( \alpha \) an, für die \( f \) nicht injektiv ist.
(c) Bestimmen Sie in den Fällen, dass \( f \) nicht injektiv ist, den Kern von \( f \) und seine Dimension.
(d) Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}^{3} \) mit \( f(x)=(1,-2,-5)^{T} \) im Fall \( \alpha=2 \).

Aufgabe:

Comments

wie ist das spam????

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Wo liegen deine Schwierigkeiten? Definitionen nach sehen, dann nachrechnen.

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Universal-Antwort, passt auf 90% aller Fragen und befriedigt nur 10% der Fragesteller.

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@hj2166

Das stimmt, aber vielleicht bewegt es den Fragenden wenigstens genauer zu fragen und nicht nur einfach sein Übungsblatt aufgeteilt hier einzustellen.

Das sind ja 3 Aufgaben, welche kann er? welche gar nicht usw.

Oder wollen wir einfach alle seine aufgaben für ihn lösen und er merkt erst in der Klausur, dass ihm das nur die Zulassung bringt?

Gruß lul

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Naja, ich möchte mich für die Klausur vorbereiten, diese Aufgabe ist von alter Klausur und wir haben diese noch nicht gelernt. Deswegen habe ich es hier hochgeladen und ich bedanke mich sehr für die Antworten :))

Answer 1

Bei einer quadratischen Matrix ist hier

injektiv surjektiv bijektiv immer

entweder alles drei erfüllt, oder keines.

Du brauchst also nur eines zu prüfen, etwa injektiv:

Das ist erfüllt, wenn die Det≠0 ist, also

det(A)=2α-4 also immer injektiv, außer für α=2.

c)Für α=2 liefert Gauss:

2    1    0 
0    1    1
0    0    0     also sehen die Elemente (x,y,z)^T des

Kerns so aus:     z beliebig, etwa z=t

==>  y + t = 0    also y = -t

und 2x - t = 0 also  x = 0,5t

==> (x,y,z)^T = ( 0,5t ; t ; t)^T = t*(0,5;-1;1)^T

Die Elemente vom Kern sind die Vielfachen von (0,5;-1;1)^T ,

also dim=1.

d)  Setze (1,-2,-5)^T als 4. Spalte an die Matrix A und wende wieder Gauss an

und erhalte analog zu c)   (1,5 ; -2 ; 0 )^T +  t*(0,5;-1;1)^T