Zeigen Sie, dass der Taxifahrer mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwann zum Hauptbahnhof zurückkehrt.

Question

Aufgabe:

Ein (neuzugezogener) Taxifahrer kennt nur die drei Orte ”Hauptbahnhof“(H), ”Universität“(U) und ”Innenstadt“(I). Vom Hauptbahnhof fährt er mit Wahrscheinlichkeit 2/3 in die Innenstadt, sonst zur Universität. Von der Universität fährt er mit gleicher Wahrscheinlichkeit zum Hauptbahnhof oder zur Innenstadt; und von der Innenstadt stets zum Hauptbahnhof. Die Zufallsvariable X_k beschreibe seinen Standort nach k Fahrten, Startpunkt sei der Hauptbahnhof.

(a) Die Zufallsvariablen X0, X1, X2, . . . bilden eine Markovkette. Geben Sie den Zustandsraum an, die Übergangsmatrix und zeichnen Sie einen Übergangsgraphen.
(b) Zeigen Sie, dass der Taxifahrer mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwann zum Hauptbahnhof zurückkehrt.
(c) Nach wie vielen Fahrten kehrt er im Durchschnitt zum Hauptbahnhof zurück?
(d) Begründen Sie, dass die Markovkette eine eindeutige stationäre Verteilung μ besitzt, und bestimmen Sie diese.
(e) Wo würden Sie den Taxifahrer am Ende seiner 1000-ten Fahrt am ehesten vermuten? (Tipp: Ergodensatz)

Comments

(b) Zeigen Sie, dass der Taxifahrer mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwann zum Hauptbahnhof zurückkehrt.

Auch diese Teilaufgabe kannst du nicht?

Wenn du

und von der Innenstadt stets zum Hauptbahnhof.

nicht "verarbeiten" kannst ...

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Auch wenn er nicht stets von der Innenstadt zum Hauptbahnhof zurückkehren würde, würde er trotzdem mit der Wahrscheinlichkeit von 1 irgendwann zum Hauptbahnhof zurückkehren.

Da unter c) ja eh die Länge dieser Markovkette gefragt ist, kann man auch gleich die Wahrscheinlichkeit mit 1 herleiten.

Aber vielleicht bestehen ja bereits Probleme bei Aufgabenstellung a).

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Leider besteht bei Aufgabe a) schon Probleme. Stochastik & Statistik liegt mir leider gar nicht

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Kann mir niemand helfen oder einen Ansatz geben?

Answer 1

Zu a) 

Die Zufallsvariablen \(X_{0},X_{1},X_{2},...\) bilden eine Markov-Kette mit Zustandsraum \(\mathbb{S}=\{H,U,I\}\)  (H = Hauptbahnhof, U = Universität, I = Innenstadt).  Die Zufallsvariable \(X_{k}\) beschreibt dabei den Standort des Taxifahrers nach \(k-\) Fahrten. Er startet am Hauptbahnhof.  Mit den Angaben aus der Aufgabe erhält man die Übergangsmatrix

\(p = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0  \end{pmatrix}\).

Damit solltest du die weiteren Aufgaben bearbeiten können. Der Übergangsgraph lässt sich anhand der Matrix ziemlich leicht anfertigen.