Konvergenz der Folge (C/(n²+5n)) + D

Question

Aufgabe:

Definition 4.1.7. Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert \( a \in \) \( \mathbb{R} \), falls gilt:
\(\forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \geq n_{0}:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon .\)

Es seien \( C, D \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie mit Definition 4.1.7, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
\(a_{n}:=\frac{C}{n^{2}+5 n}+D \quad \text { für } n \in \mathbb{N}\)
konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich starre seit Tagen auf diese Aufgabe ohne einen Ansatz zu finden, mir fehlt es mal wieder am grundlegendsten Verständnis wie ich vorzugehen habe. Wenn ich das richtig verstehe muss ich verschiedenen Fälle betrachten wegen C und D? Soweit so gut aber wonach suche ich hier überhaupt? Nach einem beliebigen n0 und einem beliebigen Grenzwert a?

Ganz abgesehen davon stellt sich mir die (dumme) Frage wie die Folge überhaupt konvergent sein kann wenn D dazuaddiert wird? Wenn ich konvergenz richtig verstehe dann heißt dass doch dass ab einem bestimmten n0 befinden sich alle Glieder der Folge zwischen einem Punkt a und einem beliebigem +-epsilon? Würde dass nicht extremst von D abhängen wo die Folgenglieder liegen?

Answer 1

Hallo :-)

Zum Thema Konvergenz findest du hier eine intuitive Einleitung:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Konvergenz_und_Divergenz

Da wird zuerst die Idee intuitiv erklärt und Stück für Stück zur sonst üblichen Schreibweise in der Mathematik verdichtet.

Aber im Grunde läuft solch ein Bewies so ab:

Behauptung: Für \(a_n\coloneqq\frac{C}{n^2+5n}+D\quad\) mit \(\quad C,D\in\mathbb R\quad\) und \(\quad n\in\mathbb N\) ist \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=D=:a\).

Zwischenrechnung: Ich betrachte also zunächst

$$ \left|a_n-a\right|=\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|=\frac{|C|}{n^2+5n}=\frac{|C|}{n\cdot (n+5)}\leq \frac{|C|}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq} \frac{|C|}{N_{\varepsilon}}.$$

Jetzt suche ich also noch in Abhängigkeit von \(\varepsilon>0\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) die Abschätzung \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) gilt. Also forme ich die Ungleichung \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) zu \(\frac{|C|}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) um. \(\frac{|C|}{\varepsilon}\) ist reell. Nach dem Archimedischen Prinzip finde ich also eine Zahl \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass \(\frac{|C|}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) gilt.

Das war jetzt alles Schmierarbeit, um an \(N_{\varepsilon}\) heranzukommen. Im Prinzip schätzt du die Differenz \(|a_n-a|\) solange nachoben ab, bis du einen einfachen Ausdruck gefunden hast und du musst nur noch eine Ungleichung lösen.

Jetzt setzt man das Alles nur noch zusammen:

Beweis: Seien \(C,D\in \mathbb{R}\) beliebig. Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) nach dem Archimedischen Prinzip so, sodass \(N_{\varepsilon}>\frac{|C|}{\varepsilon}\) gilt. Dann gilt für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\)

$$ \left|a_n-a\right|=\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|=\frac{|C|}{n^2+5n}=\frac{|C|}{n\cdot (n+5)}\leq \frac{|C|}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq} \frac{|C|}{N_{\varepsilon}}\stackrel{N_{\varepsilon}>\frac{|C|}{\varepsilon}}{\leq}\frac{|C|}{\frac{|C|}{\varepsilon}}=\varepsilon.$$

Da \(\varepsilon>0\) beliebig war, folgt \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=D=:a\).

Comments

Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort jetzt brüte ich schon seit ein paar Tagen darüber und verstehe es dennoch leider nicht, ab dem Moment wo \(\quad n\) zu \(N_{\varepsilon}\) wird bildet sich bei mir ein kleines Fragezeichen was immer größer wird mit dem nächsten Absatz. Warum forme ich \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) zu \(\frac{|C|}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) um, was gibt mir das? Und was genau finde ich mich dem Archimdische Axiom hier? (Und ehr nebensächlich aber warum verschwinden die Betragsstriche ab einem gewissen Punkt einfach?)

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Du musst ja ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) angeben können, ab dem der Fehler \(|a_n-a|\) kleiner als \(\varepsilon\) ist. Und da bietet es sich an, die Ungleichung \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) unzuformen.

Das Archimedische Axiom sagt dir ja, dass du für alle \(x\in \mathbb{R}\) ein \(n\in\mathbb{N}\) findest, sodass \(x< n\) gilt. Damit kann dein \(N_{\varepsilon}\) entsprechend durch \(N_{\varepsilon}>\frac{|C|}{\varepsilon}\) gewählt werden.

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Das macht es ehrlich gesagt nicht klarer, die Logik hinter dem was da passiert erschließt sich mir nicht. Ich suche ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) ab dem \(|a_n-a|\) kleiner als epsilon ist soweit so gut, N ist indemfall das Nte Folgenglied wenn ich das richtig verstehe nur was hat dass mit der Ungleichung zu tun

"bis du einen einfachen Ausdruck gefunden hast und du musst nur noch eine Ungleichung lösen." 

Warum dass lösen dieser Ungleichung mich dazu führt dass ich das gewünscht \(N_{\varepsilon}\) finde ist was ich versuche zu verstehen

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N ist indemfall das Nte Folgenglied wenn ich das richtig verstehe

Ja!

"bis du einen einfachen Ausdruck gefunden hast und du musst nur noch eine Ungleichung lösen."

Es macht das Finden eines solchen \(N_{\varepsilon}\) einfacher. Fehler werden oft (nachoben) abgeschätzt, da man sie oftmals nicht ausrechnen kann, weil die Ausdrücke zu kompliziert sind oder eben Ungleichungen vorkommen, die du nichteinmal algebraisch nach der gesuchten Unbekannten auflösen kannst.

Den Ausdruck \(\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|<\varepsilon\) nach \(n\) umzustellen ist sehr hässlich, weil du mit Beträgen arbeiten musst. Noch schlimmer sieht es zb mit \(\left|\frac{(2n)^{2n}}{(4n)!}\right|<\varepsilon\) aus. Da eignen sich wirklich nur noch Schätzungen, um an ein \(N_{\varepsilon}\) zu kommen.

Ich nehme mal an, dass du folgende Ungleichungskette erstmal nachvollziehen konntest:

$$ \left|a_n-a\right|=\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|=\frac{|C|}{n^2+5n}=\frac{|C|}{n\cdot (n+5)}\leq \frac{|C|}{n}$$

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Vielen dank nochmal für diene Mühe ja bis dahin verstehe ich die Ungleichungskette der Zusammenhang dannach wird mir nicht deutlich also was es bedeutet diese Ungleichung nach N

"Jetzt suche ich also noch in Abhängigkeit von \(\varepsilon>0\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) die Abschätzung \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) gilt."

Der Satz hier klingt für mich etwas wie schwarze Magie, ich verstehe einfach nicht was dass für ein Prozess ist der dazu führt dass wir N finden ab dem dann alle Folgenglieder < epsilon sind

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der Zusammenhang dannach wird mir nicht deutlich also was es bedeutet diese Ungleichung nach N

Die Definition der Konvergenz

\(\forall \varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \forall n \geq N_{\varepsilon}:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\)

sagt doch, dass ab einem \(N_{\varepsilon}\) die Ungleichung (Abschätzung) \(|a_n-a|<\varepsilon\) für alle \(n \geq N_{\varepsilon}\) gilt.

Ab dem Ausdruck \(\frac{|C|}{n}\) habe ich mich dazu entschieden, die Stelle \(N_{\varepsilon}\) zu brachten. Da nun \(n\geq N_{\varepsilon}\) gilt, gilt ja \(\frac{|C|}{n}\leq \frac{|C|}{N_{\varepsilon}}\) (unabhängig von der Definition!!!).

dass wir N finden ab dem dann alle Folgenglieder < epsilon sind

Langsam habe ich so das Gefühl, dass du mit der grundlegenden Aussagenlogik und insbesondere mit Quantoren überhaupt nicht geübt bist. Du musst damit umgehen können, sonst hast du keine Chance, Definitionen wie die von der Konvergenz zu verstehen. Definitionen sagen dir nämlich immer, was zu zeigen ist. Wie man das macht, ist eine andere Geschichte. Eine Antwort wie das getan werden kann habe ich und Tschakabumba präsentiert.

"Jetzt suche ich also noch in Abhängigkeit von \(\varepsilon>0\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) die Abschätzung \(\frac{|C|}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) gilt."

Ich schreibe nochmal die Definition hin:

\(\forall \varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \forall n \geq N_{\varepsilon}:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\).

Der erste Teil mit dem Allquantor \(\forall \varepsilon>0\) leitet die gesamte Aussage ein. Jede solche Aussage ist wie ein Spiel. Ich gebe dir irgendein \(\varepsilon>0\) (das sagt der Allquator). Jetzt musst du ein \(N_{\varepsilon}\) finden (Existenzquantor). Dieser ist im Allgemeinen von \(\varepsilon\) abhängig. Jetzt nehme ich mir ein beliebiges \(n\geq N_{\varepsilon}\). Dann gilt die Ungleichung \(|a_n-a|<\varepsilon\). Quantoren in einer Aussage sind also immer eine Aneinanderreihung von Bedingungen.

Answer 2

Würde dass nicht extremst von D abhängen wo die Folgenglieder liegen?

Das hast du sehr fein bemerkt.

Der Grenzwert der genannten Folge ist übrigens D.

Answer 3

Aloha :)

Wir vermuten, dass der Grenzwert der Folge$$a_n\coloneqq\frac{C}{n^2+5n}+D\quad;\quad C,D\in\mathbb R\quad;\quad n\in\mathbb N$$durch \(a=D\) gegeben ist. Um das zu überprüfen, betrachten wir den Betrag$$\left|a_n-a\right|=\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|=\frac{|C|}{n^2+5n}<\frac{|C|}{n^2}$$Die Abschätzung \(<\) gilt, weil ein Bruch größer wird, wenn sein Nenner kleiner wird.

Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus, können wir alle \(n\in\mathbb N\) bestimmen, für die gilt:$$\frac{|C|}{n^2}<\varepsilon\quad\Longleftrightarrow\quad n^2>\frac{|C|}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\sqrt{\frac{|C|}{\varepsilon}}$$

Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\sqrt{\frac{|C|}{\varepsilon}}\right\rceil\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-D\right|<\varepsilon$$Daher ist der Grenzwert der Folge \((a_n)\) gleich \(D\).

Comments

Auch dir vielen Dank für deine ausführliche Ausführung ich verstehe leider nicht was genau passiert wenn man \(\frac{|C|}{n^2}<\varepsilon\quad\) setzt und das ganze dann umformt, was macht dass / was gibt mir dass? Ich verstehe den Zusammenhang nicht wie dass zum nachweiss des Grenzwertes führt, würde mich sehr freuen wenn du das genauer erläutern könntest